Задачи для самостоятельного решения. 1.Привести ЗЛП к каноническому виду:

1. Привести ЗЛП к каноническому виду:

f = x₁ + x₄ → max

x₁ + x₂ + x₃ + x₄ = 1

x₁ + x₂ +3x₃ +2x₄ ≤ 4

- x₁ + x₂ +9x₃ +4x₄ 16

x₁ ≥ 0

2. Решить задачу или убедиться в ее неразрешимости, используя симплексный метод:

f = x₁ - x₂ - x₃ → max

x₁ + x₂ + x₄ = 4

x₁ - x₂ + x₃ ≤ 2

x_i ≥ 0, i=1,2,3

3. Требуется построить задачу, двойственную к данной, решить её геометрически и используя теоремы двойственности, найти решение исходной задачи.

f = 2x₁ +4x₂ +23x₃ +4x₄ → min

x₁ - 3x₃ + x₄ = -2

-x₁ - x₂ - 2x₃ +3x₄ = 2

x_j ≥ 0, j=1,2,3,4

4. Составить математическую модель задачи и решить графически. Из двух сортов бензина составляют для раз­личных целей две смеси А и В. Смесь А содержит 60% бензина первого и 40% бензина второго сорта, смесь В - 80% бензина пер­вого и 20% бензина второго сорта. Составить оптимальный план образования смесей, при котором будет получен максимальный доход, если имеется 50000 л бензина первого и 30000 л второго сорта. и про­дажная цена 1 л смеси А составляет 10 руб., а смеси В - 12 руб.

5. Менеджер по ценным бумагам намерен разместить 100000 ф. с. капитал таким образом, чтобы получать максимальные годовые проценты с дохода. Его выбор ограничен четырьмя возможными объектами инвестиций: А, В, С и D. Объект А позволяет получать 6% годовых, объект В — 8% годовых, объект С— 10%, а объект D — 9% годовых. Для всех четырех объектов степень риска и условия размещения капитала различны. Чтобы не подвергать риску имеющийся капитал, менеджер принял решение, что не менее половины инвестиций необходимо вложить в объекты А и В. Чтобы обеспечить ликвидность, не менее 25% общей суммы капитала нужно поместить в объект D. Учитывая возможные изменения в политике правительства, предусматривается, что в объект С следует вкладывать не более 20% инвестиций, тогда как особенности налоговой политики требуют, чтобы в объект А было вложено не менее 30% капитала. Сформулируйте для изложенной проблемы распределения инвестиций модель линейного программирования и найдите оптимальный способ распределения инвестиций симплексным методом. Проверьте результат с помощью MS Excel.

6. Фирма производит два популярных безалкогольных напитка – «Лимонад» и «Тоник». Фирма желает продавать не менее 500 л продукции, однако объем производства ограничен количеством основного ингредиента и производственной мощностью оборудования.Для производства 1 л «Лимонада» требуется 0,02 часа работы оборудования, а для производства 1 л «Тоника» - 0,04 часа. Расход специального ингредиента составляет 0,01 и 0,04 кг на 1 л «Лимонада» и «Тоника» соответственно. Ежедневно в распоряжении фирмы имеется 24 часа времени работы оборудования и 16 кг специального ингредиента. Доход фирмы составляет 0,10 руб. за 1 л «Лимонада» и 0,30 руб. за 1 л «Тоника». Сколько продукции каждого вида следует производить ежедневно, если цель фирмы состоит в максимизации ежедневного дохода. Решить задачу, используя двойственный симплекс-метод.

7. Найдите решение задачи целочисленного программирования:

2x₁ +2 x₂ → max

-3x₁ + 4x₂ ≤ 12

3x₁ + 4x₂ ≤ 30

x₁ ≥ 0, x₂ ≥ 0

x₁,x₂ - целые

8. Решите следующую транспортную задачу методом потенциалов. В резерве трех железнодорожных станций А,Б и В находятся соответственно 50, 70 и 40 вагонов. Составить оптимальных план перегона этих вагонов к четырем пунктам погрузки угля, если пункту №1 требуется 60 вагонов, №2 – 45, №3 – 65 и №4 – 30 вагонов. При этом следует учесть, что стоимость перегона одного вагона со станции А в указанные пункты соответственно равна 140, 130, 160 и 110 тыс руб; со станции Б – 120, 170, 140, 180 тыс. руб; со станции В – 150, 120, 110, 130 тыс. руб.

Ответы:

1. y₁ + 4y₂ - 16 y₃ → min

y₁ + y₂ + y₃ 1

y₁ + y₂ - y₃ = 0

y₁ + 3y₂ - 9y₃ = 0

y₁ + 2y₂ - 4y₃ = 1

y_2,3 ≥ 0

2.. X^* = (3; 1; 0), f = 2.

3. X^* = (0; 0; 8/7; 10/7), Y^* = (-11; 5); f = Z = 32.

4. 70000 л смеси А и 10000 л смеси В; доход 820 тысяч рублей.

5. В объект А – 30 тыс ф.с., в объект В – 20 тыс. ф.с., в объект С – 20 тыс. ф.с., в объект D – 30 тыс. ф.с., общий доход – 8100 фунтов стерлингов.

6. Напиток «Лимонад» нужно производить в количестве 800 л, а «Тоник» в количестве 200 л, при этом доход составит 140 руб.

7. X^* = (10; 0), f = 20.

8. Со станции А 20 вагонов на пункт №2 и 30 вагонов на пункт №4; со станции Б 60 вагонов на пункт №1 и 10 вагонов на пункт №3; со станции В 40 вагонов на пункт №3; на пункт № 2 не прибудет 25 вагонов, а на № 3 - 15 вагонов. При этом стоимость всех перегонов будет минимальна и составит 18900 тыс. рублей.