Замечания

1. В случае минимизации прямую С₁Х₁ +С₂Х₂ = const надо перемещать в направлении (), противоположном .

2. Если допустимая область решений D представляет собой неограниченную область и линия уровня при движении в заданном направлении не покидает область D, то в этом случае говорят, что не ограничена сверху (или снизу), т.е. или .

3. Если целевая функция достигает экстремума в двух угловых точках, то задача имеет бесконечное множество оптимальных решений (альтернативный оптимум). Если обозначить эти угловые точки и , тогда оптимальное решение записывается в виде выпуклой линейной комбинации этих угловых точек: , где .

Пример 7. Графическим способом решить ЗЛП

max (2Х₁ + Х₂)

при ограничениях

Х₁ - Х₂ 2 (1)

Х₁ + 3Х₂ 3 (2)

7Х₁ - Х₂ 2 (3)

Х_1,2 0.

Шаг 1. Строим область D (Рис. 1.5). Она является неограниченной.

Шаг 2. Строим вектор - градиент .

Шаг 3. Строим линию уровня функции : 2Х₁ + Х₂ = const.

Шаг 4. Передвигая линию уровня (на рисунке изображена пунктиром) в направлении вектора , убеждаемся в неограниченном возрастании функции , то есть

	x2

Рис.1.5. Решение задачи примера 2

Пример 8. Решить графическим методом ЗЛП. Найти

Х₁ + 3Х₂

при ограничениях

2Х₁ + 3Х₂ 6 (1)

Х₁ + 2Х₂ 5 (2)

Х₁ 4 (3)

0 Х₂ 3 (4)

Из рис. 1.6 видно, что область допустимых решений пуста (D= ).

Задача не имеет решения.

Рис.1.6. Решение задачи примера 3

Пример 9. Найти решение ЗЛП

Х₁ + 2Х₂

при ограничениях

2Х₁ + Х₂ 4 (1)

Х₁ + 2Х₂ 5 (2)

Х₁ 0,5 (3)

0 Х₂ 5 (4)

Линию уровня Х₁ + 2Х₂ =const (пунктирная линия) передвигаем в противоположном направлении: – = (-1;-2). На рис. 1.7 видно, что она параллельна границе области D, образованной прямой (2). Значит целевая функция достигает своего экстремума в двух угловых точках А и В. Следовательно, решением задачи является весь отрезок прямой (2) от точки А(5;0) до точки В(1;2): , где .

Рис.1.7. Решение задачи примера 4