Многомерные отношения преобладаний

В реальности двухмерных связей практически не существует: они многомерны.Связь между тремя переменными называется трехмерной, если характер связи между любыми двумя из них зависит от того, каково при этом значение третьей переменной. Связь между четырьмя переменными называется четырехмерной, если ее характер для любых трех признаков зависит от того, каково значение четвертой переменной и т. д.

В работе Б.Г. Миркина[66] приводится пример того, как при фиксации значения третьей переменной обусловливается «возникновение» связи между двумя переменными. Изучалась зависимость между наличием в семьях пылесоса (П) и холодильника (Х). Исходная частотная таблица имела вид:

	П	мП	Маргинал
Х			1 400
мХ
Маргинал		1 200	2 000

Зависимость здесь явно отсутствует, поскольку столбцы (строки) таблицы пропорциональны: . Таблицу пересчитали отдельно для двух выделенных среди изучаемой совокупности респондентов групп, т.е. семей с высоким (Д) и низким (мД) уровнем дохода. Получились следующие две частотные таблицы:

Для Д:

	П	мП	Маргинал
Х
мХ
Маргинал			1 000

Для мД:

	П	мП	Маргинал
Х
мХ
Маргинал			1 000

В обоих случаях связь присутствует (пропорциональности строк нет). Более того, для первой таблицы она положительна (значение Х сопрягается со значением П: семьи, имеющие холодильник, как правило, имеют и пылесос), а для второй — отрицательна (значение Х сопрягается со значением мП: семьи, имеющие холодильник, чаще всего не могут купить пылесос).

В таблице, отвечающей высокому доходу Д отношение преобладания больше единицы, а в таблице, отвечающей низкому доходу, аналогичное отношение меньше единицы.

В работе Г. Аптона[67] рассматриваемая проблема обсуждается в исторической ретроспективе. В частности, приводится пример т. н. парадокса Симпсона. Исходная таблица имела вид

	В	мВ	Маргинал
А
мА
Маргинал		1 100	2 000

В ней наблюдается явная отрицательная связь: отношение преобладаний меньше единицы (значение А имеет б о льшую тенденцию встречаться с мВ, чем с В). А в тех двух таблицах, которые получаются в результате фиксирования значения третьего дихотомического признака С оба отношения преобладаний больше единицы, т.е. говорят о положительной связи. Эти таблицы выглядят так:

Для С:

	В	мВ	Маргинал
А
мА
Маргинал			1 000

Для мС:

	В	мВ	Маргинал
А
мА
Маргинал			1 000

Соответствующие отношения преобладаний равны:

,

На основании рассмотренных выше примеров выделим три модели работы с дихотомическими признаками.

1. Если 1 дихотомический признак.

Р₁ — доля объектов, обладающих первым значением признака, Р₂ — вторым. Соответствующее отношение преобладания первого порядка

,

будет обозначать, во сколько раз объем первого множества больше (меньше) второго. Если отношение преобладания больше 1, мы имеем дело с положительным преобладанием, если меньше — с отрицательным.

2. Если 2 дихотомических признака.

Р₁₁ — доля объектов с первым значением первого признака и первым значением второго, Р₁₂ — с первым значением первого и вторым значением второго и т. д. Двухмерная частотная таблица приобретет вид:

Р11	Р12
Р21	Р22

Фиксируем первое значение второго признака и рассчитываем для соответствующей частотной таблицы отношение преобладания первого порядка:

_.

То же делаем при фиксации второго значения второго признака:

_.

Отношением преобладания второго порядка называется отношение первой дроби ко второй:

.

Проверяем, в какой мере столбцы таблицы сопряженности являются пропорциональными. Если λ₂ равно единице, то двухмерной связи нет. Если больше единицы, то говорят о положительной связи (и чем больше отличие от 1, тем больше эта связь). Если λ₂ меньше 1, то говорят об отрицательной связи.

λ₂ - это отношение двух λ₁ для первого признака, вычисленных отдельно для каждого из двух значений второго признака.

3. Если 3 дихотомических признака.

Фиксируем первое значение третьего признака и вычисляем λ₂ по первым двум признакам:

_.

Аналогичную величину вычисляем, фиксируя второе значение третьего признака:

_.

Находим отношение последних двух величин. Это — отношение преобладания третьего порядка:

_.

Если отношения преобладания второго порядка, вычисленные для каждого из двух значений третьего признака, были примерно одинаковыми, то λ₃ будет примерно равно 1. Это означает отсутствие трехмерной связи. Если λ₃ больше 1, говорят о положительной трехмерной связи. Если λ₃ меньше — об отрицательной трехмерной связи и т.д.

6.3. Анализ связей типа «альтернатива-альтернатива»

Для изучения такой связи мы вводим понятие локальной связи. Это связь между отдельными альтернативами рассматриваемых признаков. Локальному подходу отвечает понимание связи как некоторого отношения между двумя конкретными градациями а и b признаков Х и Y соответственно. Связь сильная, если из того, что для некоторого объекта первый признак принимает значение а, с большой вероятностью следует, что второй признак для того же объекта принимает значение b. Если вероятность мала — она слаба.

Рассмотрим частотную таблицу, выражающую зависимость между профессией человека и читаемой им газетой (для простоты предполагаем, что каждый респондент может читать не более одной газеты) (табл.28).

Таблица 28

Связь между профессией респондента и выбором им газеты

Профессия	Читаемая газета	Итого
УГ	МК	Независимая	Правда
Врач
Токарь
Учитель
Космонавт
Итого

Нас интересует локальная связь между свойством «быть учителем» и свойством «читать "Учительскую газету" (УГ)». Упомянутая выше четырехклеточная таблица будет иметь вид:

Таблица 29

Связь между свойством «быть учителем» и свойством «читать Учительскую газету (УГ)»

Профессия	Читаемая газета	Маргиналы по строкам
УГ	Не УГ
Учитель
Не учитель
Маргиналы по столбцам

При дальнейшем использовании коэффициентов мы и измерим силу локальной связи. Для этого используют понятие детерминационного анализа (ДА-алгоритм), которое лежит в основе множества статпакетов и широко применяется в прикладной социологии.

Детерминация характеризуется интенсивностью (точностью, истинностью) и емкостью (полнотой) .

доля читающих УГ среди учителей (90%).

доля учителей среди читающих УГ (41%).