![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Случайной величиной называется величина, которая в результате испытания принимает одной возможное числовое значение. Случайные величины (с.в.) обозначаются заглавными латинскими буквами.
Дискретная случайная величина имеет конечное или счетное множество значений. Закон распределения дискретное с.в. Х – это перечень ее возможных значений и соответствующих вероятностей. Закон распределения дискретной с.в. Х записывается в виде ряда распределения:
Значения (х) | ![]() | ![]() | … | ![]() | … | (1) |
Вероятности (р) | ![]() | ![]() | … | ![]() | … |
Здесь
.
Непрерывная с.в. принимает любые значения некоторого (возможно, бесконечного) интервала.
Функция распределения с.в. Х – это функция, определенная равенством:
.
Свойства функции распределения:
1)
2) – неубывающая функция;
3)
;
4) если все возможные значения случайной величины Х принадлежат интервалу (а,b), то
при
при
5) .
Числовые характеристики случайной величины. Математическое ожидание дискретной с.в. определяется формулой:
где – знак суммирования.
Математическое ожидание обозначается также буквой , возможно с индексом, например
.
Перечислим свойства математического ожидания.
Дисперсия дискретной с.в. Х, имеющей закон распределения (1) и математическое ожидание , определяется формулой:
.
Дисперсия обозначается также , возможно, с индексом. Можно также доказать, что
Последняя формула иногда бывает удобней для вычислений.
Перечислим свойства дисперсии.
1. Дисперсия постоянной величины равна нулю.
2. Если С – константа, то .
3. Дисперсия суммы (разности) независимых случайных величин равна сумме дисперсий слагаемых:
.
Средним квадратическим отклонением случайной величины Х называется величина .
Задача 15. Дано распределение дискретной случайной величины Х:
x i | |||||
p i | 0,1 | 0,2 | 0,1 | 0,3 | 0,3 |
Найти функцию распределения .
Решение
Если , то
;
если , то
;
если , то
;
если , то
;
если , то
;
если , то
Итак, искомая функция распределения имеет вид:
График полученной функции представлен на рис. 1.
Рис. 1.
Задача 16. Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение дискретной случайной величины Х, заданной следующим законом распределения:
x i | -2 | |||
p i | 0,5 | 0,1 | 0,2 | 0,2 |
Решение
Вычислим математическое ожидание дискретной случайной величины Х:
.
Далее вычислим дисперсию дискретной случайной величины Х:
,
а также среднее квадратическое отклонение:
.
Ответ: MX = –0,4; DX = 2,84; σX = 1,65.
Нормальное распределение. Еслиплотность распределения непрерывной случайности величины X равна
,
то говорят, что с.в. X имеет нормальное распределение; . Если X имеет нормальное распределение с математическим ожиданием µ и средним квадратическим отклонением
, то вероятности, связанные с X, вычисляются по формулам
,
,
,
где Ф(x) – функция Лапласа; значения функции Лапласа приведены в таблице Приложения 1.
Задача 17. Математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение нормально распределенной случайной величины Х соответственно равны 10 и 2. Написать плотность распределения вероятностей и найти вероятность того, что Х примет значение из интервала (12; 14).
Решение
В нашем случае а = 10, σ = 2, так как случайная величина распределена по нормальному закону, то ее плотность находим следующим образом:
.
Вероятность того, что распределенная по нормальному закону случайная величина Х примет значение из интервала (12;14), находится следующим образом:
.
Ответ:
.
Приложение 1
Таблица значений функции
Сотые доли | ||||||||||
х | ||||||||||
0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 | 0,0000 | |||||||||
0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 | ||||||||||
1,0 1,1 1,2 1,3 1,4 | ||||||||||
1,5 1,6 1,7 1,8 1,9 | ||||||||||
2,0 2,1 2,2 2,3 2,4 | ||||||||||
2,5 2,6 2,7 2,8 2,9 | ||||||||||
3,0 3,1 3,2 3,3 3,4 | ||||||||||
3,5 3,6 3,7 |
Критерии для оценки контрольной работы:
1. Наличие разумных пояснений к выполняемым пунктам задания
2. Указание используемых формул
3. Соблюдение рекомендованного алгоритма решения задания
4. Точность вычислений
5. Решение всех указанных задач.
Перечень вопросов для подготовки к экзамену Часть 1. Линейная алгебра и аналитическая геометрия1. Декартовы координаты на плоскости. Координаты двух точек, симметричных относительно а) оси Ox, б) оси Oy, в) начала координат
2. Расстояние между двумя точками
3. Деление отрезка в данном отношении. Координаты середины отрезка
4. Определение линии на плоскости
5. Прямая линия на плоскости. Уравнение прямой с угловым коэффициентом
6. Общее уравнение прямой
7. Угол между прямыми
8. Условия параллельности и перпендикулярности прямых
9. Уравнение прямой, проходящей через заданную точку в заданном направлении
10. Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки
11. Уравнение окружности
12. Определители второго порядка
13. Определители третьего порядка и их свойства. Миноры и алгебраические дополнения
14. Методы вычисления определителей третьего порядка
15. Решение систем линейных уравнений по формулам Крамера
16. Матрицы. Основные определения. Сложение и умножение матриц
17. Обратная матрица и ее вычисление
18. Решение системы линейных уравнений с помощью обратной матрицы
19. Векторы. Действия над ними. Скалярное произведение векторов.
20. Условия параллельности и перпендикулярности двух векторов.
21. Общее уравнение плоскости и его исследование.
22. Уравнение плоскости, проходящей через три данные точки.
23. Условия параллельности и перпендикулярности плоскостей.
24. Расстояние от точки до плоскости.
25. Прямая линия в пространстве. Канонические уравнения прямой.
Часть 2. Математический анализ. Элементы теории вероятностей.1. Основные элементарные функции их свойства и графики.
2. Определение производной функции в точке. Таблица производных.
3. Правила дифференцирования.
4. Производная сложной функции.
5. Промежутки возрастания и убывания функции. Максимум и минимум функции.
6. Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке.
7. Первообразная. Неопределенный интеграл.
8. Свойства неопределённого интеграла.
9. Таблица неопределённых интегралов.
10. Определение и свойства определенного интеграла.
11. Геометрический смысл определенного интеграла.
12. Формула Ньютона–Лейбница.
13. Вычисление площадей плоских фигур с помощью определенного интеграла.
14. Ряды. Необходимый признак сходимости числовых рядов.
15. Дифференциальные уравнения первого порядка.
16. Классическое и статистическое определения вероятности события.
17. Теоремы сложения вероятностей.
18. Теоремы умножения вероятностей.
19. Формула Бернулли.
20. Дискретные случайные величины. Закон распределения.
21. Математическое ожидание и дисперсия дискретной случайной величины.
22. Предмет и задачи математической статистики. Генеральная и выборочная совокупность.
23. Вариационный ряд. Статистическое распределение выборки.
24. Полигон частот. Гистограмма частот.
25. Точечные и интервальные оценки параметров распределения.
Формат и содержание экзамена, критерии оценки. Экзамен проводится в установленное расписанием время по утвержденным билетам. Билет содержит два теоретических вопроса и одно практическое задание. Практическое задание оформляется в письменном виде со всеми необходимыми комментариями по алгоритму решения. На теоретические вопросы студент отвечает устно. Для получения оценки «Отлично» необходимо правильно решить практическое задание, знать основные положения теоретических вопросов и уметь объяснить любую, предложенную преподавателем, задачу из контрольной работы студента. Для получения оценки «Хорошо» необходимо знать основные положения теоретических вопросов и уметь объяснить любую, предложенную преподавателем, задачу из контрольной работы студента. Для получения оценки «Удовлетворительно» необходимо уметь объяснить любую, предложенную преподавателем, задачу из контрольной работы. Перечень рекомендуемой литературыОсновная литература:
1. Солодовников А.С., Бабайцев В.А., Браилов А.В., Шандра И.Г. Математика в экономике (в двух частях) – М.: Финансы и статистика, 2005.
2. Шипачев В.С. Основы высшей математики. – М.: Высшая школа, 2006.
3. Краснов М.А. и др. Вся высшая математика (в шести томах). – М.: Эдиториал УРСС, 2000.
4. Кремер Н.Ш. и др. Высшая математика для экономистов. – М.: ЮНИТИ, 2002.
5. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. – М.: Высшая школа, 2006.
Дополнительная литература:
6. Кремер Н.Ш. и др. Практикум по высшей математике для экономистов. – М.: ЮНИТИ, 2002.
7. Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике. – М: Высшая школа, 2006.
8. Коровина Л.А. Математика (Элементы аналитической геометрии, линейной алгебры и линейного программирования): Методическое пособие по изучению курса и выполнению расчетных работ для студентов, обучающихся по специальности «Туризм». М.: МАТГР, 2007.
9. Коровина Л.А. Математика (дифференциальное и интегральное исчисления). Учебно-методическое пособие по изучению курса и выполнению расчётных работ. М.: МГИИТ,
2010.
10. Дружинина О.В. Теория вероятностей и математическая статистика. Учебное пособие для студентов. М.: МГИИТ, 2013.
Дата публикования: 2014-11-04; Прочитано: 491 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!