Дифференциальное и интегральное исчисление

Исследование функций и построение графиков рекомендуется проводить по следующей схеме:

1) Найти область определения функции.

2) Исследовать функцию на непрерывность; найти точки разрыва функции и её односторонние пределы в точках разрыва.

3) Найти точки экстремума функции и определить промежутки монотонности (интервалы возрастания и убывания функции).

4) Найти точки перегиба графика функции и определить интервалы выпуклости и вогнутости графика.

5) Найти асимптоты графика функции.

6) Построить график функции, используя результаты проведённого исследования.

7) Для функции под пунктом а) найти дополнительно наибольшее и наименьшее значения этой функции на отрезке [ a; b ].

Задача 4. Исследовать функцию и построить ее график: у = (х ³ + 9 х² + 15 х – 9).

1) Областью определения данной функции являются все действительные значения аргумента х, то есть, D(у): х Î (- µ; + µ), а это значит, что функция непрерывна на всей числовой оси и её график не имеет вертикальных асимптот.

2) Исследуем функцию на экстремум и определим интервалы монотонности. С этой целью найдём её производную и приравняем к нулю:

Решая полученное квадратное уравнение, делаем вывод о том, что функция имеет две критические точки первого рода: Разбиваем этими точками область определения на части, и по изменению знака производной определим промежутки монотонности (интервалы возрастания и убывания функции) и наличие экстремума функции:

	(- µ, - 5)	- 5	(- 5, - 1)	- 1	(- 1, + µ)
	+		-		+
	­	max	¯	min	­

3) Определим точки перегиба графика функции и интервалы его выпуклости и вогнутости. Для этого найдём вторую производную заданной функции и приравняем её к нулю:

Итак, функция имеет одну критическую точку второго рода . Разобьём полученной точкой область определения на части, в каждой из которых установим знак второй производной:

	(- µ, - 3)	- 3	(- 3, + µ)
	-		+
	Ç	т. п.	È

Значение х = - 3 является абсциссой точки перегиба графика функции, а ордината этой точки

4) Выясним наличие у графика заданной функции наклонных асимптот.

Для определения параметров и уравнения асимптот воспользуемся формулами

Для заданной функции

¥.

Следовательно, у графика заданной функции наклонных асимптот нет.

5) Для построения графика функции в системе координат хОу изобразим точки максимума А (- 5; 4), минимума В (- 1; - 4), перегиба С (- 3; 0) и точку пересечения графика с осью Оу D (0; - 9 / 4). С учётом результатов исследования построим кривую (см. рис.1).

6) Найдём наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке [ - 3; 0 ]. Для этого вычислим значения функции на концах этого отрезка, в критических точках первого рода, попавших на отрезок, и сравним результаты:

у (- 3) = 0; у (- 1) = - 4; у (0) = - 9/4.

Очевидно, что у_наиб. (- 3) = 0; у_наим. (- 1) = - 4.

Рис. 1

Задача 5. Исследовать функцию и построить ее график:

1) Область определения функции: D (у) = { х Î (- µ; 4) È (4; + µ) }.

2) Исследование на непрерывность и классификация точек разрыва.

Заданная функция непрерывна всюду, кроме точки .

Вычислим её односторонние пределы в этой точке:

¥; ¥

х®4-0 х®4-0 х®4+0 х®4+0

Таким образом, точка является для заданной функции точкой разрыва, а прямая - вертикальной асимптотой графика.

3) Исследование на экстремум и промежутки монотонности (интервалы возрастания и убывания функции).

Найдём производную функции, приравняем её к нулю и найдём корни полученного уравнения:

	(-µ; -2)	-2	(-2; 4)		(4; 10)		(10;+µ)
	+		-	не сущ.	-		+
	­	max	¯		¯	min	­

у_max = у (-2) = - 4; y_min = y (10) = 20.

Обозначим точку максимума А (-2; - 4), точку минимума В (10; 20).

4) Исследование графика на выпуклость, вогнутость и точки перегиба.

Найдём вторую производную функции, приравняем её к нулю и найдём корни полученного уравнения (если они есть).

=

Так как ¹ 0, то график заданной функции точек перегиба не имеет. Остаётся выяснить вопрос об интервалах выпуклости и вогнутости графика.

	(- µ; 4)		(4; + µ)
	-	не сущ.	+
	Ç		È

5) Исследование графика на наличие наклонных асимптот:

Следовательно, прямая - наклонная асимптота графика.

6) Построение графика.

График заданной функции пересекает ось Оу в точке С (0; - 5). Действительно, при функция

Используя все предыдущие результаты исследования, график заданной функции имеет вид, представленный на рис.2.

При построении графика следует вначале провести асимптоты: (вертикальная асимптота) и (наклонная асимптота); затем нанести точки А (- 2; - 4) - max, В (10; 20) - min и С (0; - 5) - пересечение с осью ОУ; и только потом начертить график. При необходимости можно использовать дополнительные точки.

Рис. 2

Таблица основных интегралов

1. 8.

2. 9.

3. 10.

4. 11.

5. 12.

6. 13.

7. 14.

Каждая из формул этой таблицы справедлива в любом промежутке, содержащемся в области определения соответствующей подынтегральной функции.

Справедливость приведённых формул проверяется дифференцированием.

Задача 6. Найти неопределённые интегралы. Проверить результат дифференцированием (в одном из примеров).

а) б)

в) г)

д) е)

Решение.

а)

=

б)

в)

Нужно использовать формулу интегрирования по частям:

Для этого обозначим тогда

Тогда, применяя формулу интегрирования по частям, получим

г)

д)

Использована формула: . е)

Проверим результат интегрирования в примере д) дифференцированием:

Получили подынтегральную функцию. Следовательно, интеграл нашли верно.

Задача 7. Найти с помощью определённого интеграла площадь плоской фигуры, расположенной в первом квадранте и ограниченной параболой прямой и осью OX (рис.3).

Решение. Сделаем чертёж: в осях ХОУ построим параболу и прямую и заштрихуем искомую площадь, расположенную в первом квадранте. Затем найдём абсциссу точки пересечения параболы и прямой в первом квадранте. Для этого приравняем правые части уравнений параболы и прямой и решим полученное квадратное уравнение или Корни этого уравнения Первому квадранту соответствует корень

Найдём абсциссу точки пересечения прямой с осью ОХ Решим уравнение , откуда

Искомая площадь фигуры где площадь фигуры, ограниченной данной параболой , вертикальной прямой и осью ОХ; площадь фигуры, ограниченной вертикальной прямой данной прямой и осью ОХ. Вычислим искомые площади:

(кв.ед.)

(кв.ед.)

Общая площадь (кв.ед.)

Задача 8. Найти с помощью определённого интеграла объём тела, образованного вращением вокруг оси ОХ фигуры, расположенной в первом квадранте и ограниченной параболой прямой и осью ОХ (рис.3).

Решение. Можно считать, что тело вращения ограничено при поверхностью, образованной вращением параболы вокруг оси ОХ, а при поверхностью, образованной вращением прямой вокруг оси ОХ.

Таким образом, общий объём тела вращения будет складываться из двух объёмов:

Вычислим эти объёмы по формулам:

(куб.ед.)

Для вычисления этого интеграла используем метод замены переменной.

Пусть Тогда или отсюда Определим новые пределы интегрирования, соответствующие переменной : при а при

(куб.ед.)

(куб.ед.)

Рис. 3

Ответ: площадь плоской фигуры (кв. ед.),

объём тела вращения (куб. ед.)