Матричный метод решения системы линейных уравнений

Рассмотрим систему линейных уравнений

(1)

Обозначим через А – матрицу коэффициентов при неизвестных; X – матрицу – столбец неизвестных х, у, z; В – матрицу – столбец свободных членов ₁, ₂, _3:

А = ; Х = ; В =

С учетом этих обозначений данная система уравнений (1) принимает следующую матричную форму:

(2)

Если матрица А – невырожденная (ее определитель отличен от нуля), то она имеет обратную матрицу . Умножив обе части уравнения (2) на , получим:

.

но (Е – единичная матрица), а , поэтому

(3)

Равенство (3) называется матричной записью решения системы линейных уравнений (1). Для нахождения решения системы уравнений необходимо вычислить обратную матрицу .

Пусть имеем невырожденную матрицу

, ее определитель

Тогда

= (4)

где А_ij ( = 1, 2, 3; j = 1, 2. 3) – алгебраическое дополнение элемента _ij в определителе матрицы А, которое является произведением на минор (определитель второго по­рядка), полученный вычеркиванием -ой строки и j -го столбца в определителе матрицы А.

Задача 3. Данную систему уравнений записать в матричной форме и решить ее с по­мощью обратной матрицы.

Обозначим матрицы

; Х = ; В = .

Тогда матричная форма записи данной системы будет

,

или

=

Найдем обратную матрицу для матрицы А. Для этого:

1) Вычислим определитель матрицы А.

Получили . Следовательно матрица А имеет обратную матрицу .

2) Найдем алгебраические дополнения для каждого элемента определителя матрицы А.

3)

4) Обратная матрица будет иметь вид:

5) Проверим правильность полученной обратной матрицы (произведение обратной матрицы на матрицу А должно быть равно единичной матрице Е).

Получили единичную матрицу. Значит обратная матрица найдена верно.

Находим решение данной системы уравнений в матричной форме

Получили , следовательно х = 3; у = 0; z = –2.

Проверим правильность полученного решения, подставив его в каждое уравнение заданной системы:

Все три равенства верные, поэтому делаем вывод о правильности полученного решения.

Ответ: х = 3, у = 0, z = –2.