Уравнения равновесия произвольной системы сил

Определим для заданной системы сил модуль главного вектора и модуль главного момента относительно произвольного центра О. Главный вектор системы равен геометрической сумме всех сил системы . Проекции главного вектора на оси координат, связанные с произвольным центром О, равны

.

Модуль главного вектора равен

Главный момент системы сил относительно выбранного центра О равен геометрической сумме моментов всех сил относительно этого центра

.

Спроецируем это равенство на одну из выбранных координатных осей, например, на ось х: .

Проекция момента силы относительно центра О равна моменту этой силы относительно оси х, проходящей через этот центр, тогда

.

Аналогично:

Модуль главного момента относительно центра О равен:

Условием равновесия системы сил является равенство нулю главного вектора и главного момента относительно произвольного центра О:

, , т.е.

Эти равенства выполняются при условии, что каждое слагаемое в обоих подкоренных выражениях равно нулю:

Для равновесия произвольной системы сил необходимо и достаточно, чтобы три суммы проекций всех сил на оси координат равнялись нулю и три суммы моментов всех сил относительно этих координатных осей также равнялись нулю.

Равновесие плоской системы сил.

Выберем плоскость, в которой расположены силы, за координатную плоскость Оху (рис.31). Тогда проекция каждой силы на ось Oz будет равна нулю, поскольку все силы лежат в плоскости, перпендикулярной этой оси. Кроме того, момент каждой силы относительно оси х и относительно оси у будет равняться нулю, поскольку силы данной системы либо пересекают обе оси, либо параллельны одной их них и пересекают вторую. Следовательно, уравнения равновесия плоской системы сил будут представлены уравнениями:

На основании определения момента силы относительно оси, момент каждой силы плоской системы относительно оси z равен моменту этой силы относительно точки О: .

Тогда получим:

Для равновесия плоской системы сил необходимо и достаточно, чтобы суммы проекций этих сил на оси х и у равнялись нулю, а также равнялась нулю сумма моментов этих сил относительно произвольно выбранной точки.