Операции со случайными величинами

Со случайными величинами, рассмотренными на одном и том же интервале исходов опыта, можно обращаться как с обычными числами и функциями.

X:

X	a1	a2	…	an
p	p1	p2	…	pn

Y=j(x)

Нужно найти закон распределения СВ Y. y_k=j(a_k), где k=1,2,…,n.

P(y=y_k)=P(x=a_k)=P_k

Если все значения СВ Y различны, то их надо проранжировать и указать соответствующие вероятности.

Если СВ Y принимает совпадающие значения, то их надо объединить под общей вероятностью, равной сумме соответствующих вероятностей, а после в ранжированном виде привести в таблице.

X={0,1,2,…,9}, P(x=k)=0.1, k=0,1,…,9, Y=x², Z=(x-5)².

X
P	0.1	0.1	0.1	0.1	0.1	0.1	0.1	0.1	0.1	0.1
Y
Py	0.1	0.1	0.1	0.1	0.1	0.1	0.1	0.1	0.1	0.1
Z
Pz	0.1	0.1	0.1	0.1	0.1	0.1	0.1	0.1	0.1	0.1

Закон распределения СВ Z:

Z
Pz	0.1	0.2	0.2	0.2	0.2	0.1

Бинарные операции (с несколькими величинами)

СВ X,Y заданы в 1 опыте.

Исход опыта	E1	E2	…	En
Вероятность исхода	P1	P2	…	Pn
X	X1	X2	…	Xn
Y	Y1	Y2	…	Yn
Z=j(XY)	Z1	Z2	…	Zn

Сложнее, если СВ задана только своим распределением:

X	a1	a2	…	an
Р	p1	p2	…	pn

Y	b1	b2	…	bn
Р	g1	g2	…	Gn

Z=X+Y

СВ Z принимает значения a_k+b_s, где a_k=a₁,a₂,…,a_n; b_s=b₁,b₂,…b_m.

Общее количество возможных значений СВ = m×n.

P(Z=a_k+b_s)=P(X=a_k, Y=b_s)

Для нахождения такой вероятности необходимо знать закон совместного распределения СВ X и Y.

Набор точек (a_k,b_s) вместе с вероятностями P(X=a_k, Y=b_s) называется совместным распределением СВ X и Y. Обычно такое распределение задается таблицей.

Определение закона распределения суммы СВ по законам распределения слагаемых называется композицией законов распределения.

X \Y	b1	b12	…	bs	…	bm	Px
a1	P11	P12	…	P1s	…	P1m	P1
a2	P21	P22	…	P2s	…	P2m	P2
…	…	…	…	…	…	…	…
ak	Pk1	…	…	Pks	…	Pkm	Pk
…	…	…	…	…	…	…	…
an	Pn1	Pn2	…	Pns	…	Pnm	Pn
Py	g1	g2	…	gs	…	gm

Наиболее просто вероятности P_ks находятся в случае независимости СВ X и Y. Две СВ X и Y называются независимыми тогда и только тогда, когда

P(X=a_k, Y=b_s)=P(X=a_k)×P(Y=b_s)

P_ks=P_k×P_s

По известному закону распределения совместного распределения СВ X и Y могут быть найдены одномерные законы распределения СВ X и Y.

Теорема. Если СВ Х,Y являются независимыми, то любые функции j(Х) и y(У) от этих величин также являются независимыми.

Распределение функции от случайной величины

Х – непрерывная СВ

. По закону распределения СВ Х. Найти закон распределения СВ Y.

Если СВ ХÎ[х₀,х₁], то Î [y₀,y₁].

Предполагается, что функция j(х) является однозначной и имеет обратную функцию q(y).

Воспользовавшись элементами вероятности:

получим .

Закон распределения не меняется, если q(y) является линейной.

f_y(y)=f_x(x).