![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Теория сложных событий позволяет по вероятностям простых событий определять вероятности сложных. Она базируется на теоремах сложения и умножения вероятностей.
1) Суммой (объединением) двух событий А и В называется новое событие А+В, заключающееся в проявлении хотя бы одного из этих событий.
2) Произведением (пересечением) двух событий А и В называется новое событие АВ, заключающееся в одновременном проявлении обоих событий. А*В=АВ, АА=А, АВА=АВ.
3) Событие А влечет за собой появление события В, если в результате наступления события А всякий раз наступает событие В. АÌВ
А=В: АÌВ, ВÌА
Два события называются несовместными, если появление одного из них исключает возможность появления другого.
Если события несовместны, то АВ=Æ.
События А1, А2, …Аn образуют полную группу событий в данном опыте, если они являются несовместными и одно из них обязательно происходит:
AiAj=Æ (i¹j, i,j=1,2…n)
A1+A2+…+An=W
-событие противоположное событию А, если оно состоит в не появлении события А.
А и - полная группа событий, т.к. А+
=W, А
=Æ.
Теорема сложения вероятностей.
Вероятность суммы несовместных событий равна сумме вероятностей событий:
Р(А+В+С+…) = Р(А) + Р(В) + Р(С) +…
Следствие. Если события A1+A2+…+An - полная группа событий, то сумма их вероятностей равна 1.
P(A+ ) = P(A) + P(
) = 1
Вероятность наступления двух совместных событий равна:
Р(А+В) = Р(А) + Р(В) - Р(АВ)
Р(А+В+С) = Р(А) + Р(В) + Р(С) – Р(АВ) – Р(АС) – Р(ВС) – Р(АВС)
Теорема. Если АÌВ, то Р(А) £ Р(В).
В=В1+В2 (В1=А) Р(В)=Р(В1) + Р(В2)= Р(А) + Р(В2)
Теорема умножения вероятностей. Условные вероятности.
Опыт повторяется n раз, mB раз наступает событие В, mАВ раз наряду с событием В наступает событие А.
hn(B) = hn(AB) =
Рассмотрим относительную частоту наступления события А, когда событие В уже наступило:
- условная вероятность события А по событию В – вероятность события А, когда событие В уже наступило.
Свойства условных вероятностей.
Свойства условных вероятностей аналогичны свойствам безусловных вероятностей.
1. 0 £ Р(А/В) £ 1, т.к. ; АВ Ì В, Р(АВ) £ Р(В)
2. Р(А/А)=1
3. ВÌА, è Р(А/В)=1
4.
5. Р[(A+C)/B] = Р(А/В) + Р(C/В) – Если события А и С несовместны
Р[(A+C)/B] = Р(А/В) + Р(C/В) - Р(АC/В) – Если события А и С совместны
Теорема. Вероятность произведения двух событий равна произведению вероятности одного события на условную вероятность другого.
Свойства независимых событий.
Если события А и В независимы, то независимы и каждая из пар: А и В, А и ,
и В,
.
Если события Н1, Н2, …Нn независимы, то заменяя любые из них на противоположные, вновь получаем независимые события.
Формула полной вероятности.
Вероятность события В, которое может произойти совместно только с одним из событий Н1, Н2, …Нn, образующих полную группу событий, вычисляется по формуле:
События А1, А2, …Аn называют гипотезами.
Теорема гипотез (формула Байеса).
Если до опыта вероятности гипотез были Р(Н1), Р(Н2)…Р(НN), а в результате опыта произошло событие А, то условные вероятности гипотез находятся по формуле:
Пример. На трех технологических линиях изготавливаются микросхемы. Найти: 1) вероятность того, что случайно выбранное изделие оказывается бракованным; 2) вероятность того, что если изделие дефектно, то оно изготовлено на 1 линии.
№ линии | Количество изготавливаемых микросхем | Вероятность брака |
25% | 5%; | |
35% | 4% | |
40% | 2% |
Рассмотрим события: Н1, Н2,…Нi,…,НN (полная группа событий)– изделие изготавливается i линией; А{изделие с браком}.
1) Р(А)=0,25*0,05+0,35*0,04+0,4*002=0,0345=3,45%
2)
Схема последовательных испытаний Бернулли.
Проводится серия из n испытаний, в каждом из которых с вероятностью р может произойти событие А, с вероятностью q=1-р событие .
Вероятность наступления события А не зависит от числа испытаний n и результатов других испытаний.
Такая схема испытаний с двумя исходами (событие А наступило либо не наступило) называется схемой последовательных испытаний Бернулли.
Пусть при n испытаниях событие А наступило k раз, (n-k) раз событие .
- число различных комбинаций события А
Вероятность каждой отдельной комбинации:
Вероятность того, что в серии из n испытаний событие А, вероятность которого равна р, появится k раз:
- условие нормировки.
Пример. Вероятность изготовления нестандартной детали равна р=0,25, q=0.75. Построить многоугольник распределения вероятностей числа нестандартных деталей среди 8 изготовленных.
N=8 p=0.25 q=0.75
Если k0 – наивероятнейшее число, то оно находится в пределах:
np-q £ k0 £ np+q
Если число (np+q) нецелое, то k0 – единственное
Если число (np+q) целое, то существует 2 числа k0.
Предельные теоремы в схеме Бернулли.
1. Предельная теорема Пуассона. При р»0, n-велико, np= l £ 10.
Формула дает распределение Пуасона, описывает редкие события.
2. Предельная теорема Муавра-Лапласа.
0 £ p £ 1, n –велико, np>10
- стандартное нормальное распределение
3. Предельная интегральная теорема Муавра-Лапласа.
В условиях предыдущей теоремы вероятность того, что событие А в серии из n испытаний наступит не менее k1 раз и не более k2 раз:
- функция Лапласа
Следствие:
Пример. ОТК проверяет на стандартность 1000 деталей. Выбранная деталь с вероятностью р=0,975 является стандартной.
1) Найти наивероятнейшее число стандартных деталей:
K0=np=975
2) Найти вероятность того, что число стандартных деталей среди проверенных отличается от k0 не более чем на 10.
3) С вероятностью 0,95 найти максимальное отклонение числа стандартных деталей среди проверенных.
4) Найти число проверяемых деталей n, среди которых с вероятностью 0,9999 стандартные детали составят не менее 95%.
0,95n £ k £ n
P(0,95n £ k £ n)=0.9999 = Ф(х2)- Ф(х1) =
n=3.92*39=594
при р=0,9999 n=594
при р=0,999 n=428
при р=0,99 n=260
Дата публикования: 2014-11-04; Прочитано: 326 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!