Общее уравнение плоскости, проходящей через точку

Еще раз повторим, что точка принадлежит плоскости, которая задана в прямоугольной системе координат в трехмерном пространстве общим уравнением плоскости , если при подстановке координат точки в уравнение оно обращается в тождество.

Пример.

Принадлежат ли точки и плоскости, общее уравнение которой имеет вид .

Решение.

Подставим координаты точки М₀ в общее уравнение плоскости: . В результате приходим к верному равенству, следовательно, точка лежит в плоскости.

Проделаем такую же процедуру с координатами точки N₀: . Получаем неверное равенство, поэтому, точка не лежит в плоскости, определенной общим уравнением плоскости .

Ответ:

М₀ лежит в плоскости, а N₀ – не лежит.

Из доказательства теоремы об общем уравнении плоскости виден один полезный факт: вектор является нормальным вектором плоскости . Таким образом, если мы знаем вид общего уравнения плоскости, то мы сразу можем записать координаты нормального вектора этой плоскости.

Пример.

Плоскость в прямоугольной системе координат Oxyz задана общим уравнением плоскости . Запишите координаты всех нормальных векторов этой плоскости.

13. Решение.

Нам известно, что коэффициенты при переменных x, y и z в общем уравнении плоскости являются соответствующими координатами нормального вектора этой плоскости. Следовательно, нормальный вектор заданной плоскости имеет координаты . Множество всех нормальных векторов можно задать как .

Ответ:

Теперь рассмотрим обратную задачу – задачу составления уравнения плоскости, когда известны координаты ее нормального вектора. Очевидно, что существует бесконечно много параллельных плоскостей, нормальным вектором которых является вектор . Поэтому, зададим дополнительное условие, чтобы обозначить одну конкретную плоскость. Будем считать, что точка принадлежит плоскости. Таким образом, задав нормальный вектор и точку плоскости , мы зафиксировали плоскость (смотрите раздел способы задания плоскости в пространстве). Получим общее уравнение этой плоскости.

Общее уравнение плоскости с нормальным вектором имеет вид . Так как точка лежит на плоскости, то ее координаты удовлетворяют уравнению плоскости, следовательно, справедливо равенство . Вычтем из левой и правой части равенства левую и правую части равенства соответственно. При этом получаем уравнение вида , которое является общим уравнением плоскости, проходящей через точку и имеющей направляющий вектор плоскости .

Это уравнение можно было получить и иначе.

Очевидно, что множество точек трехмерного пространства определяют требуемую плоскость тогда и только тогда, когда векторы и перпендикулярны. То есть, тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю: .

Пример.

Напишите уравнение плоскости, если в прямоугольной системе координат Oxyz в пространстве она проходит через точку , а - нормальный вектор этой плоскости.

Решение.

Приведем два решения этой задачи.

Из условия имеем . Подставляем эти данные в общее уравнение плоскости, проходящей через точку :

Теперь второй вариант решения.

Пусть - текущая точка плоскости. Находим координаты вектора по координатам точек начала и конца: . Для получения требуемого общего уравнения плоскости осталось только воспользоваться необходимым и достаточным условием перпендикулярности векторов и :

Ответ:

Существует множество аналогичных задач на составление общего уравнения плоскости, в которых сначала требуется найти координаты нормального вектора плоскости. Самые распространенные из них это задачи на нахождение уравнения плоскости, проходящей через точку параллельно заданной плоскости и задачи на составление уравнения плоскости, проходящей через точку перпендикулярно к заданной прямой.