![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
В одних сукупностях індивідуальні значення ознаки щільно групуються навколо центра розподілу, в інших — значно відхиляються. Чим менші відхилення, тим однорідніша сукупність, а отже, тим більш надійні й типові характеристики центра розподілу, передусім середня величина. Вимірювання ступеня коливання ознаки, її варіації — невід’ємна складова аналізу закономірностей розподілу.
Для вимірювання та оцінювання варіації використовуються абсолютні та відносні характеристики. До абсолютних належать: розмах варіації, середнє лінійне та середнє квадратичне відхилення, дисперсії; відносні характеристики подаються низкою коефіцієнтів.
Розмах варіації - це різниця між найбільшим та якнайменшим значеннями ознаки R = хmax- xmin.
В інтервальному ряді розподілу розмах варіації визначають як різницю між верхньою межею останнього інтервалу й нижньою межею першого або як різницю між середніми значеннями цих інтервалів.
Перевагою варіаційного розмаху є простота його обчислення й тлумачення. Проте, коли частоти крайніх варіант надто малі, варіаційний розмах неадекватно характеризує варіацію. У таких випадках використовують квартильні або децильні розмахи. Квартильний розмах охоплює 50% обсягу сукупності
RQ= Q3 - Q1.
Інші абсолютні характеристики варіації базуються на відхиленнях індивідуальних значень ознаки від середньої величини. Оскільки то при розрахунку такого роду показників використовують або модулі, або квадрати відхилень. В результаті маємо наступні характеристики варіації: середнє лінійне l та середнє квадратичне s відхилення та дисперсію s2 (див. таблицю 5.4)
Таблиця 5.4 - Розрахунок узагальнюючих характеристик варіації
Показник | Середнє відхилення | |
лінійне | квадратичне | |
За даними: - незгрупованими | ![]() | ![]() |
- згрупованими | ![]() | ![]() |
Очевдно, що дисперсія – це середній квадрат відхилень. Середнє лінійне та середнє квадратичне
відхилення є безпосередніми мірами варіації. Це іменовані числа (в одиницях вимірювання ознаки), за змістом вони ідентичні, проте завдяки математичним властивостям
. Коли обсяг сукупності досить великий і розподіл ознаки, що варіює, наближається до нормального, то
, а
. Значення ознаки в межах
мають 68,3% обсягу сукупності, у межах
— 95,4%, у межах
— 99,7%. Це відоме «правило трьох сигм».
Розглянуті абсолютні характеристики варіації мають одиниці вимірювання ознаки. При порівнянні варіації різних ознак або варіації однієї ознаки в різних сукупностях використовують відносні характеристики - коефіцієнти варіації.
Коефіцієнти варіації розраховують за формулами:
- лінійний
; (5.3)
- квадратичний
; (5.4)
- осциляції
; (5.5)
- квартильный
(5.6)
Для оцінки однорідності сукупності та порівняння варіацій найбільш часто використовують квадратичний коефіцієнт варіації. В економічних розрахунках вважають, що сукупність є однорідною, а середня - типовою, якщо коефіцієнт варіації не перевищує 10-15% (в математиці ця величина складає 33%). Якщо при розрахунках використовується тільки один вид коефіцієнта варіації, зустрічається його позначення як К V.
4. Характеристики форми розподілу
Аналіз закономірностей розподілу передбачає оцінювання ступеня однорідності сукупності, асиметрії та ексцесу розподілу.
Однорідність сукупності — передумова використання інших статистичних методів (середніх величин, регресійного аналізу тощо).
В однорідних сукупностях розподіли одновершинні (одномодальні). Багатовершинність свідчить про неоднорідний склад сукупності, про різнотиповість окремих складових. Критерієм однорідності сукупності вважається квадратичний коефіцієнт варіації,
З-поміж одновершинних розподілів є симетричні та асиметричні (скошені), гостро- та плосковершинні. У симетричному розподілі рівновіддалені від центра значення ознаки мають однакові частоти, в асиметричному — вершина розподілу зміщена. Напрям асиметрії протилежен напряму зсуву вершини. Якщо вершина зміщена вліво, то це правостороння асиметрія та навпаки.
В симетричному розподілі характеристики центру мають однакові значення х=Ме=Мо; при правосторонній асиметрії , при лівобічній
.
Чим більша асиметрія, тим більше відхилення (). Очевидно, найпростішою мірою асиметрії є відносне відхилення
, яке характеризує напрям і міру скошеності в середині розподілу; при правосторонній асиметрії
, при лівосторонній —
.
Іншою властивістю одновершинних розподілів є ступінь зосередженості елементів сукупності навколо центра розподілу. Цю властивість називають ексцесом розподілу.
Асиметрія та ексцес — дві пов’язані з варіацією властивості форми розподілу. Комплексне їх оцінювання виконується на базі моментів розподілу.
Момент розподілу - це середня арифметична k -го ступеню відхилення (х-а). В загальному вигляді момент розподілу розраховується за формулою:
(5.7 а)
або
(5.7 б)
де mk - момент k -го порядку,
х - варіанти ряду,
f - частоти ряду,
n - обсяг вибірки,
k та а - постійні числа.
Залежно від величини а моменти розділяють на початкові а=0, центральні а=х та умовні а=х0, де х0 - деяка варіанта ряду, звичайно близька до його середини. Ступінь k визначає порядок моменту.
Початковий момент k -го порядку виражається формулою:
(5.8)
Центральний момент k -го порядку виражається формулою:
(5.9)
Умовний момент k -го порядку виражається формулою:
(5.10)
Очевидно, що початковий момент 1-го порядку є середня арифметична, 2-го - середній квадрат значень ознаки. Центральний момент 2-го порядку характеризує дисперсію.
Центральни моменти 3-го і 4-го порядків характеризують відповідно асиметрію та ексцес. У симетричному розподілі m3=0. Чим більша скошеність ряду, тим більше значення величини. Для того щоб характеристика скошеності не залежала від масштабу вимірювання ознаки, для порівняння ступеня асиметрії різних розподілів використовується стандартизований момент Аs=m3/s3, званий також коефіцієнтом асиметрії, який на відміну від коефіцієнта скошеності залежить від крайніх значень ознаки. При правосторонній асиметрії коефіцієнт Аs>0, при лівобічній Аs<0. Тому правосторонню асиметрію називають позитивною (додатною), а лівобічну – негативною (від'ємною). Вважається, що при Аs<0,25 асиметрія низька, якщо Аs не перевищує 0,5 - середня та при Аs>0,5 - висока.
Для вимірювання ексцесу використовують стандартизований момент 4-го порядку Е=m4/s 4. При симетричному, близькому до нормального розподілі Е=3, при гостровершинному розподілі Е>3, при плосковершинному Е<3.
Розрахунок центральних моментів m3 і m4 за даними інтервального ряду розподілу доцільно проводити за формулами:
(5.11)
де h - ширина інтервалу або будь-яке число,
f - частота або частість інтервалу.
Аналіз закономірностей розподілу можна поглибити, якщо описати його певною функцією.
Дата публикования: 2014-11-04; Прочитано: 1823 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!