Характеристики центра розподілу

Центром тяжіння будь-якої статистичної сукупності є типовий рівень ознаки, узагальнююча характеристика всього розмаїття її індивідуальних значень. Такою характеристикою є середня величина .

За даними ряду розподілу середня обчислюється як ариф­метична зважена (вагами є частоти f_j або частки d_j):

, ,

де j — номер групи;

m — число груп.

В інтервальних рядах як варіанту використовують середину інтервалу.

Окрім типового рівня важливе значення має домінанта, тобто найбільш поширене значення ознаки. Таке значення називають модою (Мо).

Мода (Мо) - це та варіанта, яка частіше за все повторюється у ряді розподілу.

В дискретному ряді - це варіанта, якій відповідає найбільша частота.

Наприклад, при реєстрації жіночого взуття, проданого впродовж дня в магазині, встановлено, що самим ходовим був розмір 23,5, тобто Мо= 23,5 (див. табл.5.2)

Таблиця 5.2 - Розподіл проданого взуття за розмірами

Розмір взуття	22,0	22,5	23,0	23,5	24,0	24,5	25 і більш	Разом
Кількість пар
Кумулятивні частоти								х

В інтервальному ряді легко знаходиться лише модальний інтервал, а сама мода визначається приблизно за формулою

(5.1)

де х₀ - нижня межа модального інтервалу,

h, fm - ширина й частота модального інтервалу,

f_m-1 ,f_m+1 - частота інтервалів, що передує та подальший щодо модального.

Хай в результаті вибіркового обстеження працівників одного з цехів машинобудівного заводу отримані такі дані (див. табл. 5.3)

Модальний інтервал складає від 6 до 9 років, оскільки відповідна йому частота максимальна fm=230. Підставимо дані у формулу (5.1) і обчислимо моду

Це означає, що такий стаж є найтиповішим для працівників цеху.

Таблиця 5.3- Розподіл працівників цеху за стажем роботи

Стаж, років	Чисельність працівників	Кумулятивні частоти
До 3-х
3 - 6
6 - 9
9 - 12
12 - 15
15 і більше
Разом		х

Характеристикою центра розподілу вважається також медіана.

Медіана (Ме) - це варіанта, яка ділить ранжируваний ряд на дві рівні за чисельністю частини.

Якщо непарне число варіант записати в порядку збільшення або зменшення, то центральна з них буде медіаною. При парній кількості варіант, медіана розраховується як середня арифметична двох центральних варіант. При визначенні медіани за даними ряду розподілу використовують кумулятивні частоти, які полегшують пошук центральної варіанти. Перш за все, слід встановити порядковий номер центральної варіанти, для чого загальну кількість варіант, збільшену на 1, ділять на 2. Потім по ряду кумулятивних частот визначають, в якій групі знаходиться даний номер.

Визначимо медіанний розмір проданого взуття за даними таблиці 5.2. Порядковий номер центральної варіанти рівний (450+1)/2=225,5. З ряду кумулятивних частот видно, що варіанта складає 24,0, оскільки її номер знаходиться саме в цій групі розмірів. Таким чином, Ме = 24,0.

В інтервальному ряді розподілу аналогічно визначається медіанний інтервал. Конкретне значення медіани визначається за формулою

(5.2)

де х ₀ - нижня межа медіанного інтервалу,

h - ширина медіанного інтервалу,

S _m-1 - кумулятивна частота інтервалу, що передує медіанному,

fm - частота медіанного інтервалу.

Обчислимо медіану, скориставшися даними табл. 5.3:

Медіана, як і мода, не залежить від крайніх значень ознаки; сума модулів відхилень варіант від медіани мінімальна, тобто вона має властивість лінійного мінімуму:

.

Цю властивість медіани можна використати при проектуванні розміщення зупинок міського транспорту, заготівельних пунктів тощо.

Мода і медіана - це особливий вид середніх величин. На відміну від абстрактної середньої арифметичної, ці характеристики завжди співпадають з конкретними варіантами.

Окрім моди і медіани, в аналізі закономірностей розподілу використовуються також квартилі та децилі. Квартилі — це варіанти, які поділяють обсяги сукупності на чотири рівні частини, децилі — на десять рівних частин. Ці характеристики визначаються на основі кумулятивних частот (часток) за аналогією з медіаною, яка є другим квартилем або п’ятим децилем.