Электрон в атоме водорода в основном состоянии

В этом случае используются сферические координаты: радиус-вектор r и угловые координаты j и q (см.рис.). Чтобы представить сложность решения, мы приведем вид оператора Лапласа в сферических координатах:

радиальная часть оператора

В общем случае пси-функция зависит от трех координат: Y = Y (r, q, j). При использовании сферических координат пси-функцию можно представить в виде трех сомножителей, каждый из которых зависит только от одной координаты:

Если подставить Y в уравнение Шрёдингера, то получим три уравнения для

R, Q и F, т.е. разделим переменные. Нижние индексы показывают, какие квантовые числа (см. дальше) появляются в решениях для этих функций.

Мы будем рассматривать только радиальную часть оператора Лапласа, иначе говоря, случай, когда атом водорода находится в основном состоянии. Функция R называется радиальной частью пси-функции.

	Уравнение Шрёдингера для электрона в атоме водорода в основном состоянии
	Решение уравнения		потенциальная энергия электрона в атоме водорода (U ¥ = 0)

При решении нам нужно определить: полную энергию Е электрона и неизвестные величины С и а. Найдем производные R¢ и R ², подставим их и R в уравнение Шрёдингера.

(·)

После сокращений получим уравнение (·), в котором 2-й и 4-й члены содержат r, а два других - нет. Т.к. это уравнение должно выполняться при любых r, в том числе при r = 0, то из (·) мы получим два уравнения, из которых найдем а и Е.

		Мы получили выражение, которое точно совпадает с 1-ым боровским радиусом
		Это выражение совпадает с выражением для энергии электрона на первой боровской орбите.

Коэффициент С найдем из условия нормировки.

	Элементарный объем dV в сферически симметричном случае – это сферический слой толщиной dr, объем слоя (на рис.- заштрихован)
	В математике такой интеграл известен, x=r, n=2, b=2/a

В результате получим:

Введем понятие радиальной плотности вероятности. Плотность вероятности в нашем случае – это ç R ç² – по определению равна

	где dP вероятность обнаружить электрон в элементарном объеме dV.
	r называется радиальная плотность вероятности -по смыслу – это вероятность обнаружить электрон в сферическом слое единичной толщины

Из рисунка видно, что максимальная вероятность обнаружить электрон при наименьшей его энергии совпадает с 1-ым боровским радиусом а. Энергия электрона в атоме водорода квантуется, выражение для нее получается такое же, как в теории Бора, но из приведенного выше решения это не следует, т.к. мы рассматривали только основное состояние.

КВАНТОВЫЕ ЧИСЛА

При решении уравнения Шрёдингера автоматически (т.е. без каких либо искусственных предположений) появляются целые числа, которые называются квантовыми числами. Таких чисел три: n, l и m. Впоследствии из релятивистского уравнения Дирака следовало и четвертое квантовое число m_s. Каждое из квантовых чисел входит в выражение какой-либо физической величины и свидетельствует о том, что данная величина квантуется, т.е. может принимать дискретные значения. Состояние электрона в квантовой системе полностью