Электрон в атоме водорода в основном состоянии

В этом случае используются сферические координаты: радиус-вектор r и угловые координаты j и q (см.рис.). Чтобы представить сложность решения, мы приведем вид оператора Лапласа в сферических координатах:

радиальная часть оператора

В общем случае пси-функция зависит от трех координат: Y = Y (r, q, j). При использовании сферических координат пси-функцию можно представить в виде трех сомножителей, каждый из которых зависит только от одной координаты:

Если подставить Y в уравнение Шрёдингера, то получим три уравнения для

R, Q и F, т.е. разделим переменные. Нижние индексы показывают, какие квантовые числа (см. дальше) появляются в решениях для этих функций.

Мы будем рассматривать только радиальную часть оператора Лапласа, иначе говоря, случай, когда атом водорода находится в основном состоянии. Функция R называется радиальной частью пси-функции.

	Уравнение Шрёдингера для электрона в атоме водорода в основном состоянии
	Решение уравнения		потенциальная энергия электрона в атоме водорода (U ¥ = 0)

При решении нам нужно определить: полную энергию Е электрона и неизвестные величины С и а. Найдем производные R¢ и R ², подставим их и R в уравнение Шрёдингера.

(·)

После сокращений получим уравнение (·), в котором 2-й и 4-й члены содержат r, а два других - нет. Т.к. это уравнение должно выполняться при любых r, в том числе при r = 0, то из (·) мы получим два уравнения, из которых найдем а и Е.

		Мы получили выражение, которое точно совпадает с 1-ым боровским радиусом
		Это выражение совпадает с выражением для энергии электрона на первой боровской орбите.

Коэффициент С найдем из условия нормировки.

	Элементарный объем dV в сферически симметричном случае – это сферический слой толщиной dr, объем слоя (на рис.- заштрихован)
	В математике такой интеграл известен, x=r, n=2, b=2/a

В результате получим:

Введем понятие радиальной плотности вероятности. Плотность вероятности в нашем случае – это ç R ç² – по определению равна

	где dP вероятность обнаружить электрон в элементарном объеме dV.
	r называется радиальная плотность вероятности -по смыслу – это вероятность обнаружить электрон в сферическом слое единичной толщины

Из рисунка видно, что максимальная вероятность обнаружить электрон при наименьшей его энергии совпадает с 1-ым боровским радиусом а. Энергия электрона в атоме водорода квантуется, выражение для нее получается такое же, как в теории Бора, но из приведенного выше решения это не следует, т.к. мы рассматривали только основное состояние.