Гармонический осциллятор

В классической физике гармоническим осциллятором называют частицу, совершающую движения по закону синуса или косинуса. Потенциальная энергия такой частицы U = кх²/2, частота колебаний . Посмотрим, к каким результатам приведет решение уравнения Шрёдингера (a), если его применить к одномерной частице, которая обладает такой потенциальной энергией.

уравнение Шрёдингера для гармонического осциллятора Т.к. случай одномерный, оператор Лапласа D y = d2y / dx2, потенциальная энергия U = кх2/2.

Мы не приводим решение этого уравнения, т.к. оно выходит далеко за рамки курса. [16] Из решения следует, что полная энергия Е такого осциллятора квантуется:

	Полная энергия квантового осциллятора n = 0, 1, 2,…,¥
при n = 0	Эта величина называется нулевой энергией осциллятора.

По классическим представлениям при Т ® 0 К энергия должна стремиться к 0, решение уравнения Шрёдингера приводит к выводу о существовании нулевой энергии;

даже при абсолютном нуле (Т = 0 К) частица имеет энергию ¹ 0.

На рис. показаны плотности вероятности при различных энергиях Е осциллятора. Если мы спросим себя, а как ведет себя частица, ведь нам всегда хочется наглядно представить процессы. Ответ – не знаем, ведь квантовый объект имеет двойственную природу. Мы можем только сказать, что частица находится в потенциальной яме, имеет определенный набор энергий и, если ее энергия равна, например Е₁, то вероятность обнаружить ее в середине ямы равна нулю. При переходе на другой уровень энергия частицы меняется дискретно, и система поглощает или испускает порцию энергии hn.

Существование нулевой энергии следует также из соотношения неопределенности. Действительно.

	соотношение неопределенностей
D х» А	неопределенность в координате примем равной амплитуде А колебаний
D р» р = mv = mw А	неопределенность в импульсе примем равной самому импульсу; максимальная скорость колебаний v = w А
	Е - максимальная энергия гармонических колебаний (Е =кх2 /2, )

Таким образом, из соотношения неопределенностей следует, что энергия осциллятора равна .

Частица в одномерной потенциальной яме (ящике)

Рассмотрим частицу с массой m, находящуюся в потенциальной яме, например, электрон в металле. Чтобы иметь возможность решить уравнение Шрёдингера введем следующие упрощения.

1).Частица находится в прямоугольной потенциальной яме, внутри ямы потенциальная энергия U постоянна, примем ее равной нулю = 0. Высота стенок ямы ® ¥, т.е. частица не может выйти из ямы (см.рис.).

2). Частица может двигаться только по оси х в пределах ширины ямы а, т.е. 0£ х £ а (одномерная задача).

Запишем уравнение Шрёдингера a для частицы в виде:

[	Уравнение Шрёдингера для частицы в прямоугольной потенциальной яме

При решении этого уравнения нам нужно найти пси-функцию y (х) и энергию Е частицы. По форме - это уравнение колебаний. Из математики известно, что решение такого дифференциального уравненияимеет вид: . Для нахождения коэффициентов А и В используем краевое условие , смысл которого в том, что частица не может выйти из ямы.

Отсюда следует: , т.к. sin 0 = 0, а cos 0 = 1 ¹ 0, то В = 0

Таким образом, получаем:

·	Решение уравнения ([). Здесь неизвестными пока остаются А и w.

Величину w найдем из второго краевого условия

А ¹ 0, следовательно, sinwa = 0, и значит wa = np, где n - -целые числа. Отсюда получаем w.

Вторую неизвестную величину А найдем из условия нормировки.

Смысл этого условия в том, что частица обязательно находится в пределах ширины ямы 0 ¸ а, следовательно, вероятность этого события равна 1.

Выразим плотность вероятности , используя пси-функцию (·), подставим w, и найдем интеграл. Учтем, что из тригонометрии: 2 sin²a = 1- cos2a.

Учитывая, что интеграл равен 1, получим выражение для А:

Зная А и w, найдем окончательный вид решения:

	Пси-функция для частицы в одномерной прямоугольной яме, физического смысла не имеет.
	Плотность вероятности для частицы в одномерной яме - определяет вероятность нахождения частицы на единичном отрезке ямы

Теперь осталось найти выражение для энергии электрона. Для этого нужно найти вторую производную пси-функции и подставить в уравнение [. Получим:

энергия частицы в одномерной потенциальной яме,

На рис. показаны энергетические уровни частицы, пси-функция и плотность вероятности для первых трех квантовых состояний. Площади под кривыми плотности вероятности представляют собой вероятности, т.к. .

Что можно сказать о поведении частицы? В зависимости от того, какова ее энергия, вероятность обнаружить частицу различная. Например, при наименьшей энергии Е₁ частица пребывает в основном в середине ямы, а при энергии Е₂ вероятность обнаружить частицу в середине ямы равна нулю.