Уравнение Шрёдингера

Открытие двойственной природы частиц привело к пониманию о невозможности описывать поведение микрочастиц с помощью классических представлений и законов. Стало ясно, что нельзя говорить о траектории частицы, т.е. о точном ее местоположении в любой момент времени. Появилась новая наука – квантовая механика. Вместо слова траектория частицы было введено понятие о вероятности нахождения частицы в том или ином месте пространства. Для описания поведения микрочастиц Шрёдингер (1926 г) предложил дифференциальное уравнение:

i	нестационарное уравнение Шрёдингера; решение уравнения позволяет найти вероятность нахождения частицы в том или ином мете пространства
	мнимая единица
m	масса рассматриваемой частицы
U (x,y,z,t)	потенциальная энергия частицы, зависящая в общем случае от координат и времени
	оператор Лапласа (или лапласиан) краткое обозначение математической операции дифференцирования в частных производных; - набла (греч. слово nabla - арфа, символ по форме напоминает этот инструмент)
Y (x,y,z,t)	пси-функция или волновая функция, физического смысла не имеет, но квадрат ее модуля êYê2 – это вероятность нахождения частицы в данном месте пространства (подробнее см. дальше – стационарное уравнение Шрёдингера)

Математически уравнение Шрёдингера имеет бесконечное число решений, что физически неприемлемо, поэтому на пси-функцию накладываются дополнительные условия:

1).Пси-функция должна быть:

а) конечной – вероятность не может быть больше 1,

б) непрерывной – вероятность не может внезапно оборваться,

в) однозначной – не может быть две вероятности в одной точке,

2) Производные пси-функции должны быть непрерывны,

3) Пси-функция должна подчиняться условию нормировки:

условие нормировки; смысл его в том, что вероятность обнаружить частицу во всем мыслимом пространстве равна 1.

В тех случаях, когда потенциальная энергия зависит только от координат и не зависит от времени, т.е U = U (x,y,z), пси-функцию можно представить как произведение двух функций: Y (x,y,z,t) = y (x,y,z)× j (t). (Y - большая буква пси,

y - малая буква пси, обе функции называются пси- или волновыми функциями.) Подставим в уравнение (i) и, разделим на (y × j).. Получим:

	Левая часть уравнения зависит только от t, правая – только от координат, следовательно, каждая из них должна быть равна некоторой постоянной, которую мы обозначим Е.
			j (t) называется временнОй частью пси-функции, со временем она затухает

Если приравнять константе Е правую часть уравнения, получим:

a	стационарное уравнение Шрёдингера Е – полная энергия частицы, U – потенциальная энергия

При решении уравнения Шредингера мы

задаем	находим
U – потенциальную энергию частицы m – массу частицы	y - пси-функцию (собственные функции) Е – полную энергию частицы (собственные значения)

Решение уравнения с учетом дополнительных условий, накладываемых на пси-функцию, приводит не к любым величинам энергии Е, а к дискретным:

Е₁, Е₂,…, Е_n. В теории Бора электрон мог находиться тоже только в дискретных энергетических состояниях, но при этом была введена искусственно гипотеза о квантовании момента импульса электрона. Уравнение Шрёдингера приводит к квантованию энергии естественно, как математическое решение.

При решении оказывается, что данному энергетическому состоянию частицы могут соответствовать одна или несколько (к) пси-функций. Иначе говоря, при данной энергии Е_n частица может вести себя по-разному. Тогда говорят, что уровень Е_n к -кратно вырожден и обозначают пси-функцию как Если на систему воздействовать внешним, например магнитным полем, то вырождение снимается, уровень расщепляется на несколько уровней. Практически это обнаруживается в спектрах, вместо одной линии появляются несколько. Например, в спектре атома водорода на приборе с большим разрешением можно обнаружить, что почти все линии спектра являются дублетами.

Рассмотрим подробнее пси-функцию.

y - пси-функция	физического смысла не имеет
1/м3 для 3-х-мерного случая	плотность вероятности (квадрат модуля пси-функции) – по смыслу – это вероятность того, что частица находится в единичном объеме в данном месте пространства Р – вероятность.
1/м для одномерного случая	--²--…. вероятность того, что частица находится на единичном отрезке…
	вероятность того, что частица находится в элементарном объеме dV
	вероятность того, что частица находится в конечном объеме V
	вероятность того, что частица находится во всем пространстве

Уравнение Шрёдингера (a) решается точно только для упрощенных, нереальных случаев, например, электрон в одномерной потенциальной яме. Из реальных объектов уравнение можно решить точно только для атома водорода при использовании сферических координат и для иона в эллиптических координатах. Во всех остальных случаях для решения применяются приближенные методы.