Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | ||
|
Простейшей одноканальной моделью с вероятностными входным потоком и процедурой обслуживания является модель, характеризуемая показательным распределением как длительностей интервалов между поступлениями требований, так и длительностей обслуживания. При этом плотность распределения длительностей интервалов между поступлениями требований имеет вид
, (8.1)
где λ — интенсивность поступления заявок в систему.
Плотность распределения длительностей обслуживания:
(8.2)
где μ — интенсивность обслуживания.
Потоки заявок и обслуживаний простейшие.
Пусть система работает с отказами. Необходимо определить абсолютную и относительную пропускную способность системы.
Представим данную систему массового обслуживания в виде графа (рис.8.1), у которого имеются два состояния:
S0 — канал свободен (ожидание);
S1 — канал занят (идет обслуживание заявки).
λ
μ
Рис. 8.1.Граф состояний одноканальной СМО с отказами
Обозначим вероятности состояний:
P0(t) - вероятность состояния «канал свободен»;
P1(t) — вероятность состояния «канал занят».
При этом выполняется условие P0(t) + P1(t) = 1. Следовательно, P1 (t) = 1- P0 (t).
Для одноканальной СМО с отказами вероятность P0(t) есть не что иное, как относительная пропускная способность системы q.
Действительно, P 0 — вероятность того, что в момент t канал свободен и заявка, пришедшая к моменту t,будет обслужена, следовательно, для данного момента времени t среднее отношение числа обслуженных заявок к числу поступивших также равно P0 (t)= q.
По истечении большого интервала времени (при t → ∞) достигается стационарный (установившийся) режим:
(8.3)
Зная относительную пропускную способность, легко найти абсолютную. Абсолютная пропускная способность (А) — среднее число заявок, которое может обслужить система массового обслуживания в единицу времени:
(8.4)
Вероятность отказа в обслуживании заявки будет равна вероятности состояния «канал занят»:
. (8.5)
Данная величина Ротк может быть интерпретирована как средняя доля необслуженных заявок среди поданных.
Рассмотрим теперь одноканальную СМО с ожиданием.
Система массового обслуживания имеет один канал. Входящий поток заявок на обслуживание — простейший поток с интенсивностью λ. Интенсивность потока обслуживания равна μ (т. е. в среднем непрерывно занятый канал будет выдавать μ обслуженных заявок). Длительность обслуживания — случайная величина, подчиненная показательному закону распределения. Поток обслуживаний является простейшим пуассоновским потоком событий. Заявка, поступившая в момент, когда канал занят, становится в очередь и ожидает обслуживания.
Предположим, что независимо от того, сколько требований поступает на вход обслуживающей системы, данная система (очередь + обслуживаемые клиенты) не может вместить более N -требований (заявок), т.е. клиенты, не попавшие в ожидание, вынуждены обслуживаться в другом месте. Наконец, источник, порождающий заявки на обслуживание, имеет неограниченную (бесконечно большую) емкость.
Граф состояний СМО в этом случае имеет вид, показанный на рис. 8.2.
λ λ λ λ λ λ
μ μ μ μ μ μ
Рис. 8.2.Граф состояний одноканальной СМО с ожиданием
Состояния СМО имеют следующую интерпретацию:
S0 — «канал свободен»;
S1 — «канал занят» (очереди нет);
S2 — «канал занят» (одна заявка стоит в очереди);
Sn — «канал занят» (п — 1 заявок стоит в очереди);
SN— «канал занят» (N — 1 заявок стоит в очереди).
Условие стационарности системы выполняется при < 1.
Следует отметить, что выполнение условия стационарности < 1 для данной СМО не обязательно, поскольку число допускаемых в обслуживающую систему заявок контролируется путем введения ограничения на длину очереди (которая не может превышать N — 1), а не соотношением между интенсивностями входного потока, т. е. не отношением .
Определим характеристики одноканальной СМО с ожиданием и ограниченной длиной очереди, равной (N — 1):
вероятность отказа в обслуживании заявки:
(8.6)
относительная пропускная способность системы:
; (8.7)
абсолютная пропускная способность:
A=q·λ; (8.8)
среднее число находящихся в системе заявок:
; (8.9)
среднее время пребывания заявки в системе:
(8.10)
средняя продолжительность пребывания клиента (заявки) в очереди:
Wq=WS - 1/μ; (8.11)
среднее число заявок (клиентов) в очереди (длина очереди):
Lq = λ (1- PN) Wq. (8.12)
Рассмотрим одноканальную СМО с ожиданием без ограничения на вместимость блока ожидания (т. е. N → ∞). Остальные условия функционирования СМО остаются без изменений.
Стационарный режим функционирования данной СМО существует при t → ∞ для любого п = 0, 1, 2,... и когда λ < μ.
Характеристики одноканальной СМО с ожиданием, без ограничения на длину очереди, следующие:
• среднее число находящихся в системе клиентов (заявок) на обслуживание:
; (8.13)
• средняя продолжительность пребывания клиента в системе:
(8.14)
• среднее число клиентов в очереди на обслуживании:
; (8.15)
• средняя продолжительность пребывания клиента в очереди:
(8.16)
Дата публикования: 2014-11-02; Прочитано: 465 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!