Теории игр

Во многих задачах неопределенность вызвана отсутствием информации об условиях, в которых осуществляются действия. Эти действия зависят от объективной действительности, которую принято называть природой. Человек (А) в играх с природой старается действовать, осмотрительно используя, например, минимаксную стратегию, позволяющую получить наименьший проигрыш. Второй игрок В (природа) действует совершенно случайно, возможные стратегии определяются как ее состояния (например, условия погоды или спрос на продукцию и т.д.). В некоторых задачах для состояний природы может быть задано распределение вероятностей, в других оно известно. Условия игры задаются в виде матрицы

Элемент а _ij равен выигрышу игрока А, если он использует стратегию А _i, а состояние природы - Р _j.

При известном распределении вероятностей различных состояний природы критерием принятия решения является максимум математического ожидания выигрыша. Если вопрос распределения вероятностей состояний природы не решен, то используют следующие критерии.

1. Максимальный критерий Вальда, при котором выбирается стратегия, гарантирующая выигрыш не меньше

.

2. Критерий минимального риска Севиджа, рекомендующий выбирать стратегию, при которой величина риска принимает наименьшее значение в самой неблагоприятной ситуации:

,

где Z_ij = b_j - a_ij; b_j = .

Реализацию методов теории игр рассмотрим на следующем примере. Возможно участие в строительстве 4-х предприятий, участвующих в торгах - А1, А2, А3, А4. Эффективность предложений (оферт) каждого из предприятий зависит от различных факторов: стоимости строительства, сроков выполнения работ, качества строительства и т.д.

Предположим, что выделено 4 состояния, каждое из которых означает определенное сочетание факторов, влияющих на эффективность реализации инвестиционного проекта (темпы инфляции, климатические условия).

Состояния природы обозначим через Р1, Р2, Р3, Р4.

Экономическая эффективность проекта в зависимости от состояний природы задана матрицей

.

Согласно критерию Вальда

,

По критерию Сэвиджа необходимо построить матрицу рисков:

,

где .

Согласно критерию Сэвиджа определяем

Согласно этому критерию также предполагается объявить победителем 3-е предприятие.

Для заданного распределения вероятностей природы:

0.25; 0.25; 0.25; 0.25;

получим: max a_ij ´ P_j = (4.75; 5.25; 6.25; 3.75) = 6.25.

Оптимальной также является 3-я стратегия, т.е. заключение контракта на реализацию проекта с 3-им предприятием.