Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | ||
|
Предполагается, что каждый из игроков знает стратегию своего противника и платежную матрицу игры. Рассмотрим с этой точки зрения некоторую конкретную игру (табл. 6.3).
Поиск решенияТаблица 6.3
Стратегия 1 | Стратегия 2 | Стратегия 3 | Минимум по строкам | |
Стратегия 1 | ||||
Стратегия 2 | ||||
Стратегия 3 | ||||
Максимум по столбцам |
Как должен играть первый игрок? Если первый игрок выберет свою первую стратегию, то второй игрок, очевидно, выберет первую или вторую, поскольку в этом случае его потери будут минимальными - 4 единицы. Значение «4» является минимальным в первой строке. Рассуждая аналогично, легко видеть, что если первый игрок выбирает свою вторую стратегию, то второй игрок выбирает 3-ю, проигрывая при этом 1. Если первый игрок выбирает стратегию 3, то второй стратегию 2 с проигрышем 5. В крайнем правом столбце табл. 5.3 записаны минимумы по строкам. Логично предположить, что первый игрок будет выбирать стратегию, обеспечивающую ему выигрыш максимального из этих значений.
Мы доказали, что первый игрок может гарантированно выиграть, по крайней мере, 5 единиц. Он понимает, что на большее он рассчитывать не может, так как, выбирая стратегию 2, второй игрок обеспечивает выигрыш первого не более 5.
Матрица удовлетворяет условию седловой точки в том случае, если
max (минимумы по строкам) = min (максимум по столбцам) или
v=max min aij = min max aij. (6.1)
i j j i
Величина v=max min aij, называется нижней ценой игры, или макси-
i j
мальным гарантированным выигрышем первого игрока (максимином).
Величина v=min max aij называется верхней ценой игры, или макси-
j i
мальным гарантированным проигрышем второго игрока (минимаксом).
Матрица, которую мы рассматриваем, удовлетворяет условию седловой точки (6.1):
max (минимумы по строкам) = min (максимум по столбцам). (6.2)
Если выполнено условие (6.1), то игра имеет седловую точку.
Если игра имеет седловую точку, то первый игрок может выбирать любую стратегию, для которой реализуется максимум в левой части соотношения (6.1) (максиминная стратегия), а второй игрок может выбрать любую стратегию, на которой реализуется минимум в правой части соотношения (1.1) (минимаксная стратегия).
Если игра имеет седловую точку, то общее значение v, которое достигается слева и справа в соотношении (1.1), называется ценой игры.
Седловая точка может рассматриваться как точка равновесия в том смысле, что отклонение от нее для каждого из игроков невыгодно. Действительно, в нашем примере если первый игрок сменит свою оптимальную стратегию 2 на 1 или 3, то выигрыш первого (соответственно проигрыш второго) увеличится.
В итоге будет разумно ожидать, что в описанной выше игре противники будут придерживаться избранных стратегий. Матричная антагонистическая игра, для которой max min aij = min max aij, называется вполне определенной, или игрой, имеющей решение в чистых стратегиях.
Дата публикования: 2014-11-02; Прочитано: 454 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!