Понятие парадокса

Проблема выразимости отражает несоответствие естественного и искусственного языков, а также несоответствие между самими искусственными языками, относящимися к моделям разного уровня сложности. Эти несоответствия мы обнаруживаем в виде различных парадоксов.

Парадоксами будем называть текстовое утверждение, логическое следствие которого приводит к противоречиям.

Мы выделим два типа соответствия между языками моделей.

Первый тип. Согласно выводу 3, §6, изоморфизм мыслимой модели на некоторою внешнюю модель дает возможность “воспринимать объект” или, наоборот, “выражать мысль в виде каких–то внешних отношений”. При этом внешние отношения фиксируются в виде некоторого текста.

Второй тип. Соответствие между языками моделей представляется структурными изоморфизмами.

Рассмотрим текстовые противоречия с точки зрения нарушения одного из двух указанных типов соответствия между языками моделей на примерах известных парадоксов.

8.5. “Ахиллес и черепаха”

Понятийный аппарат человеческого разума способен создавать автономные модели. Эти мыслимые модели могут не иметь образов в реальном мире. Противоречие в таком случае снимается исследованием изоморфизма между мыслимой моделью и моделью определенного объекта. Рассмотрим пример.

Апория “Ахиллес и черепаха” принадлежит Зенону из Элен (483–375 гг. до н.э.) и состоит в следующем.

«Легендарный бегун Ахиллес движется в два раза быстрее черепахи. В момент старта черепаха находилась на расстоянии “ а ” от Ахиллеса. Когда Ахиллес пробежит этот отрезок “ а ”, то черепаха уползет вперед на расстояние “ а ”/2. Когда Ахиллес пробежит отрезок “ а ”/2, то черепаха уползет вперед на “ а ”/4. Когда Ахиллес пробежит “ а ”/4, то черепаха продвинется вперед еще на “ а ”/8 и т.д. Этот процесс бесконечен, и Ахиллес никогда не догонит черепаху».

Апория построена на интуитивном убеждении, что никакие бесконечные процессы завершиться не могут. Именно это и приводит к противоречию. Надо объяснить каким образом рассматриваемый “мысленно” бесконечный процесс все же закончится.

Герман Вейль в начале XX в. дал следующее объяснение этой апории. В мыслимой модели существует бесконечная последовательность 1,2,3,..., n,... временных событий (Ахиллес проходит расстояние “ а ”/2 ⁿ) с неограниченно убывающим временным интервалом t_n =1/2 ⁿ. Сумма таких интервалов существует и равна 2 единицам времени.

В реальном мире каждая физическая операция требует некоторого времени, которое больше некоторого фиксированного временного интервала. Поэтому всякая бесконечная последовательность физических операций “выполнима” лишь за бесконечный промежуток времени.

Таким образом, в апории «Ахиллес и черепаха» нет изоморфизма между мыслимой и реальной моделями.