Рабочая тетрадь 4 страница

11. Найти распределение суммы , если и независимые с.в. и a) ; b) ; ; c)

12. Может ли заданная функция быть плотностью распределения вероятностей многомерного нормального распределения? Если да, то найти соответствующие параметры и . Найти также маргинальные распределения.

1) ;

2) ;

3) .

13. Записать плотность распределения вероятностей случайного вектора и найти функцию распределения, если -диагональная матрица.

14. Дана плотность распределения вероятностей случайного вектора : . Найти маргинальные распределения. Проверить стохастическую независимость компонент этого случайного вектора.

15. Доказать, что если компоненты случайного вектора независимы, причем для , то независимы с.в и .

16. Найти распределение вероятностей и числовые характеристики с.в. , если случайный вектор , где

a) b)

17. Пусть случайный вектор имеет независимые компоненты, причем Найти: a) ; b)

§8. Характеристическая функция случайной величины и случайного

вектора

Рассмотрим с.в. , наблюдаемую в опыте Ее распределение вероятностей однозначно определяется характеристической функцией ( х.ф.) , задаваемой равенством

, Она представляет преобразование Фурье меры и в двух частных случаях имеет вид:

А. , где - дискретная с.в..

B. , , где - абсолютно-непрерывная с.в..

Характеристическая функция с.в. обладает свойствами:

1.

2.

3. если стохастически независимы и

4. - непрерывна на всей числовой оси.

5. при если и .

Пример. Если то

Для случайного вектора можно ввести понятие характеристической функции по аналогии со скалярным случаем

Эта функция обладает свойствами аналогичными свойствам 1-5 скалярной характеристической функции.

Задачи для самостоятельного решения

1. Найти х.ф. типовых распределений и вычислить все начальные моменты.

2. С помощью свойств х.ф. найти законы распределения с.в. , где с.в. стохастически независимы, одинаково распределены и имеют a) нормальный закон распределения; b) закон распределения Коши; c) биномиальный закон распределения; d) закон распределения Пуассона.

3. Доказать, что с.в. имеет симметричное относительно нуля распределение тогда и только тогда, когда х.ф. вещественнозначна.

4. Могут ли следующие функции быть х.ф. некоторых с.в.: 1) ; 2) 3) ; 4) Если да, то найти соответствующее распределение.

5.На вероятностном пространстве , представляющем собой отрезок с -алгеброй борелевских подмножеств и мерой Лебега, определена с.в. . Найти ее х.ф., если: ; .

6. Найти распределения, которым соответствуют следующие х.ф.: a) ;

b) ; c) d) ; e) ; f) ; g) .

§ 9 Предельные теоремы

Здесь мы будем рассматривать последовательности случайных величин, наблюдаемых в одном и том же опыте . Ограничимся случаем последовательности стохастически независимых с.в.

Классической для теории вероятностей является задача нахождения предельного распределения для последовательности сумм где

Сформулируем следующие предельные теоремы.

Теорема 1. (Закон больших чисел). Рассмотрим последовательность с.в., удовлетворяющих условиям:

1. - стохастически независимы;

2. ;

3. . Тогда

Теорема 2. (Центральная предельная). Рассмотрим последовательность с.в., удовлетворяющих условиям:

1. - стохастически независимы;

2. - одинаково распределены, ;

3. и

Тогда , где и - функция Лапласа.

Задачи для самостоятельного решения

1. Рассмотрим последовательность стохастически независимых и имеющих распределение с.в. 1) Подчиняется ли данная последовательность закону больших чисел, центральной предельной теореме? 2) Подчиняются ли закону больших чисел и центральной предельной теореме последовательности с.в. и , где , , ?

2. Складывается 10⁴ чисел, округленных с точностью до 10^{- m}. Предполагая, что ошибки округления независимы и равномерно распределены в интервале , найти пределы, в которых с вероятностью, не меньшей 0,99, будет лежать суммарная ошибка.

3. Доказать, что при

4. Вероятность некоторого события равна в каждом из независмых испытаний. Найти вероятность того, что: a) частота наступления события при отклонится от вероятности в ту или другую сторону меньше, чем на 0,02; b) число появления события будет заключено между 600 и 660; c) в каких границах находится та частота события при , вероятность отклонения которой от вероятности , равна 0,985? В каких границах заключено число появлений события в этой задаче? d) Сколько необходимо провести испытаний, чтобы вероятность того, что отклонение частоты от вероятности появления события в одном опыте в ту или другую сторону будет меньше, чем 0,01, была равна 0,995?

5. Книга в 500 страниц содержит 50 опечаток. Оценить вероятность того, что на случайно выбранной странице не менее 3-х опечаток.

6. Вероятность того, что любой абонент позвонит на коммутатор в течение часа равна 0,01. Телефонная станция обслуживает 300 абонентов. Какова вероятность того, что в течение часа позвонят 4 абонента?

Таблица 1.

Обозначения	Теория множеств и теория меры	Теория вероятностей	Эмпирическое значение соответствующих понятий
G		Случайный опыт, обладающий свойством статистической устойчивости частот	Действие и наблюдение за его результатами, которые неоднозначно определяются условиями проведения опыта G. При большом числе проведений опыта частота исхода близка к некоторой постоянной для данного исхода
	Основное(универсальное множество)	Множество исходов случайного опыта	Полный список взаимоисключающих исходов (результатов) в предположении, что опыт происходит в идеальных условиях
	Элемент основного множества	- исход опыта	При проведении опыта G появляется один и только один из исходов -неделим в рамках данной модели.
A	Совокупность подмножеств множества являющаяся -алгеброй	Совокупность случайных событий	Совокупность событий (результатов), наблюдаемых при проведении опыта G.
	А - элемент А, т.е. А	А - случайное событие (список «благоприятных» для А исходов)	Некоторый результат сл. опыта G (возможна словесная формулировка)
	-элемент множества А	Исход , благоприятный (благоприятствующий) событию А	Если при проведении опыта G появился исход А, то говорят, что событие А произошло в противном случае () событие А не произошло.
	Пустое множество	Невозможное событие	Событие, которое никогда не происходит при реализации данного комплекса условий
	Универсальное множество	Достоверное событие	Результат (событие), которое всегда происходит при реализации данного комплекса условий G
	Объединение множеств	Объединение сл. событий - событие, состоящее из исходов, принадлежащих хотя бы одному из событий	Событие (результат), которое происходит тогда и только тогда, когда происходит хотя бы одно из событий , т.е. или , или и т.д. или .
	Пересечение множеств	Пересечение (произведение) сл.событий -событие, состоящее из общих для исходов	Событие (результат), которое происходит тогда и только тогда, когда происходят одновременно события , т.е. и , и и т.д. и .
	Множество А и В не пересекаются	А,В - несовместные события	События А и В не могут происходить одновременно
	- дополнение множества до универсального мн-ва	- противоположное событию А; -пара противоположных событий, т.е. ,	- происходит тогда и только тогда, когда не происходит А, т.е. не А; в результате опыта одно и только одно из противоположных событий происходит
	Разбиение множества	Разбиение множества исходов	В результате опыта обязательно происходит одно и только одно из событий данного разбиения
т.е. , для
А\В;	Разность множеств А и В	Разность событий А и В	А\В происходит тогда и только тогда, когда А происходит, а В нет
	А — подмножество В	Событие А влечет событие В	Если произошло событие А, то обязательно произошло В
	Вероятностная мера на измеримом пространстве	- вероятность случайного события	Численная мера возможности появления события (см. стр. 7)

Таблица 2.