![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Определение. Числовая функция, определенная на множестве исходов таким образом, что
для любого
называется случайной величиной (с.в.).
Последнее условие
измеримости позволяет построить выборочное пространство с.в. в виде тройки
где мера
определяется равенством
, называется распределением вероятностей с.в.
и представляет образ меры
на
.
Мера однозначно определяется функцией распределения (ф.р.) с.в.
, коротко
Ф.р. любой с.в. обладает тремя характеристическими свойствами:
1) неубывающая;
2) непрерывна слева;
3)
С помощью этой функции можно вычислить вероятность попадания значений с.в. в любой промежуток, так как
Тогда, например,
По виду ф.р. (распределения вероятностей) можно осуществить классификацию с.в .: дискретные с.в.- ф.р. является кусочно-постоянной и представима в виде суммы
где - возможные значения с.в.. a.
- соответствующие вероятности. Таблица
, где: l)
2)
называется рядом распределения вероятностей с.в. .
Абсолютно-непрерывные с.в.- ф.р. представима в виде
,
Функция называется плотностью распределения вероятностей и обладает следующими характеристическими свойствами: 1)
2)
Сингулярные с.в. - 1. - непрерывна на
2.
п.в. на
Определение. Начальным моментом порядка k с.в. называется число
где
- совокупность всех абсолютно интегрируемых относительно меры
с.в. на
В частности
где
- дискретная с.в., если ряд абсолютно сходится и
где
- абсолютно-непрерывная с.в., если интеграл абсолютно сходится,
. Начальный момент 1-го порядка принято называть математическим ожиданием с.в.
(средним значением).
Центральным моментом порядка k с.в. называется число
, если указанное математическое ожидание существует,
.. Очевидно, что
(среднее отклонение от среднего равно нулю);
называется дисперсией с.в.
(характеристика разброса возможных значений с.в. относительно среднего, что подтверждает неравенство Чебышева
, где
).
Задача 1. Абсолютно-непрерывная с.в. имеет п.р.в.
Найти: а) коэффициент ; b) ф.р.; с)
; d )
Используя характеристические свойства п.р.в., получаем
;
b)
Графики п.р.в. и ф.р.
с)
d) - расходится для
, значит, начальные, а следовательно, и центральные моменты не определены.
Задача 2. При передаче сообщения вероятность искажения одного знака равна 0,1. Построить ряд распределения числа искаженных знаков в сообщении, состоящем из 4-х независимо передаваемых знаков. Найти среднее и дисперсию числа искажений при передаче одного сообщения.
Ряд распределения вероятностей с.в. , означающей число искаженных знаков из 4-х, имеет вид
x | |||||
Р | 0,6561 | 0,2916 | 0,0486 | 0,0036 | 0,0001 |
Заметим, что имеет
распределение;
Задачи для самостоятельного решения
1. Задана таблица
![]() | -1 | ||||
![]() | - ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() |
При каком значении с эта таблица будет задавать ряд распределения некоторой случайной величины ? Найти функцию распределения этой случайной величины, ее математическое ожидание и дисперсию.
2. Ряд распределения вероятностей случайной величины определяется формулами
Найти: 1) постоянную с; 2) 3) функцию распределения;
4) начальные и центральные моменты.
3. Производится независимых опытов, в каждом из которых с вероятностью р появляется событие А. Построить ряд распределения 1) числа появлений противоположного события; 2) частоты появления события А в п опытах. Для этих случайных величин найти математическое ожидание и дисперсию.
4. На пути движения автомашины четыре светофора. Каждый из них независимо от работы других светофоров с вероятностью 0,5 либо разрешает, либо запрещает автомашине дальнейшее движение. Построить ряд распределения числа светофоров, пройденных автомашиной подряд без остановки. Для этой случайной величины найти функцию распределения, математическое ожидание и дисперсию.
5. Производятся независимые выстрелы по мишени до первого промаха или пока не кончатся патроны. Построить ряд распределения для: 1) числа проведенных выстрелов; 2) числа попаданий, если имеется 5 патронов и вероятность попадания при одном выстреле 0,8; 3) числа промахов. Найти для построенных случайных величин функцию распределения, математическое ожидание и дисперсию.
6. Найти математическое ожидание и дисперсию случайных величин, имеющих типовые распределения:
7. Из сосуда, содержащего т белых и п черных шаров, извлекаются шары до тех пор, пока не появится белый шар. Построить ряд распределения, функцию распределения и найти числовые характеристики для случайной величины - число вынутых черных шаров, если a) выбор с возвращением; b) выбор без возвращения.
8. Проверяется лампочек, каждая из которых с вероятностью р может иметь дефект. Лампочка ввинчивается в патрон и включается ток. При включении тока дефектная лампочка сразу же перегорает и заменяется другой. Построить ряд распределения числа лампочек, которое будет испробовано. Вычислить математическое ожидание и дисперсию при п = 6, р == 0,2.
9. Из 20 приборов имеется 6 не точных. Найти функцию распределения, математическое ожидание и дисперсию числа точных приборов среди отобранных наудачу 5 приборов.
10. При каком значении с функция ,
может быть плотностью распределения вероятностей некоторой случайной величины
?
1)
2)
3)
4)
Найти функцию распределения этой случайной величины . Вычислить вероятность того, что случайная величина
примет значения из интервала
(-1; ); (0;1).
11. Случайная величина имеет распределение Рэлея с плотностью распределения вероятностей
Найти коэффициент с, считая заданным. Найти функцию распределения и числовые характеристики случайной величины
.
12. Случайная величина имеет
распределение.
1) Найти при
; 2) Найти плотность распределения и числовые характеристики случайных величин a)
b)
c)
.
13. Пусть ~
распределение.
1) Что больше или
?
2) Найти ф.р. и п.р.в. случайной величины где
14. Найти абсциссы точек перегиба графика функции если
имеет
распределение. Найти
и
15. Пусть имеет
распределение. Найти п.р.в. и числовые характеристики с.в. a)
, если
b)
16. Функция распределения случайной величины имеет закон распределения арксинуса
.
Определить постоянные а и . Найти плотность распределения вероятностей, математическое ожидание и дисперсию случайной величины
. Найти
17. Модуль вектора скорости молекулы газа есть случайная величина, распределенная по закону Максвелла с плотностью распределения вероятностей
Найти среднюю скорость и дисперсию величины скорости молекулы.
18. Найти математическое ожидание, дисперсию и функцию распределения случайной величины имеющей плотность распределения вероятностей
§ 7. Случайные векторы
Задачи для самостоятельного решения
1. Производится один выстрел по мишени. Вероятность попадания в мишень равна . Рассмотрим случайный вектор
где
- число попаданий в мишень при этом выстреле, а
- число промахов. Построить ряд распределения. Найти функцию распределения этого случайного вектора и маргинальные функции распределения. Проверить стохастическую независимость координат этого вектора. Найти числовые характеристики.
2. Случайный опыт - два независимых выстрела по мишени; вероятность попадания при каждом из выстрелов равна
. Рассмотрим случайный вектор
, где
- число попаданий при j -ом выстреле
Найти функцию распределения случайного вектора и маргинальные распределения. Проверить стохастическую независимость координат и найти числовые характеристики.
3. Случайный опыт G – два независимых бросания правильной игральной кости. Рассмотрим случайный вектор , где 1)
- число очков при j- ом бросании, j =1,2; 2)
-минимальное число очков при двух бросаниях, а
- максимальное. Построить ряд распределения случайного вектора
. Проверить стохастическую независимость, найти маргинальные распределения и числовые характеристики.
4.Случайный вектор - дискретного типа. Найти распределение суммы
и произведения
, если
а)
![]() ![]() ![]() | |||
-1 | 0,1 | 0,2 | 0,1 |
0,3 | 0,1 | 0,2 |
b)
![]() ![]() | ||
-1 | 0,125 | 0,375 |
0,375 | 0,125 |
c)
![]() ![]() ![]() | -1 | |
0,03 | 0,07 | |
0,15 | 0,35 | |
0,12 | 0,28 |
Найти также числовые характеристики и маргинальные распределения.
5.Случайный вектор имеет независимые компоненты и
~
, k =1,2. Найти a) распределение вероятностей с.в.
;
b) ; c) найти распределение вероятностей с.в.
, предполагая, что
6. Пусть случайный вектор имеет независимые компоненты и
~
,
. Доказать, что с.в.
~
. Найти
,
.
7. Случайный вектор имеет плотность распределения вероятностей 1)
,
2)
Найти коэффициент
, функцию распределения случайного вектора, найти маргинальные распределения и числовые характеристики. Проверить стохастическую независимость компонент данного вектора.
8. Случайный вектор . Найти плотность распределения вероятности случайного вектора
и маргинальные плотности, если: 1)
- квадрат с координатами вершин (-1;-1), (-1; 1), (1;-1), (1;1); 2)
- квадрат с координатами вершин (-1;0), (0;1), (1;0), (0;-1); 3)
- круг с центром в начале координат и радиусом равным 1.
9. Пусть случайный вектор имеет независимые компоненты и a)
; b)
. Найти функцию распределения и плотность распределения вероятностей с.в.
. В случае распределения b) найти и построить график плотности распределения вероятностей
для
10. Пусть случайный вектор с независимыми компонентами имеет абсолютно непрерывное распределение вероятностей. Найти плотность распределения вероятностей с.в. a)
; b)
; c)
; d)
. Найти тип распределения, если
и
. Найти числовые характеристики полученных с.в..
Дата публикования: 2014-11-04; Прочитано: 586 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!