Рабочая тетрадь 3 страница

Определение. Числовая функция, определенная на множестве исходов таким образом, что для любого называется случайной величиной (с.в.). Последнее условие измеримости позволяет построить выборочное пространство с.в. в виде тройки где мера определяется равенством , называется распределением вероятностей с.в. и представляет образ меры на .

Мера однозначно определяется функцией распределения (ф.р.) с.в.

, коротко

Ф.р. любой с.в. обладает тремя характеристическими свойствами:

1) неубывающая;

2) непрерывна слева;

3) С помощью этой функции можно вычислить вероятность попадания значений с.в. в любой промежуток, так как Тогда, например,

По виду ф.р. (распределения вероятностей) можно осуществить классификацию с.в .: дискретные с.в.- ф.р. является кусочно-постоянной и представима в виде суммы

где - возможные значения с.в.. a. - соответствующие вероятности. Таблица

, где: l) 2)

называется рядом распределения вероятностей с.в. .

Абсолютно-непрерывные с.в.- ф.р. представима в виде

,

Функция называется плотностью распределения вероятностей и обладает следующими характеристическими свойствами: 1)

2)

Сингулярные с.в. - 1. - непрерывна на 2. п.в. на

Определение. Начальным моментом порядка k с.в. называется число где - совокупность всех абсолютно интегрируемых относительно меры с.в. на В частности где - дискретная с.в., если ряд абсолютно сходится и где - абсолютно-непрерывная с.в., если интеграл абсолютно сходится, . Начальный момент 1-го порядка принято называть математическим ожиданием с.в. (средним значением).

Центральным моментом порядка k с.в. называется число , если указанное математическое ожидание существует, .. Очевидно, что (среднее отклонение от среднего равно нулю); называется дисперсией с.в. (характеристика разброса возможных значений с.в. относительно среднего, что подтверждает неравенство Чебышева

, где ).

Задача 1. Абсолютно-непрерывная с.в. имеет п.р.в.

Найти: а) коэффициент ; b) ф.р.; с) ; d ) Используя характеристические свойства п.р.в., получаем

;

b)

Графики п.р.в. и ф.р.

с)

d) - расходится для , значит, начальные, а следовательно, и центральные моменты не определены.

Задача 2. При передаче сообщения вероятность искажения одного знака равна 0,1. Построить ряд распределения числа искаженных знаков в сообщении, состоящем из 4-х независимо передаваемых знаков. Найти среднее и дисперсию числа искажений при передаче одного сообщения.

Ряд распределения вероятностей с.в. , означающей число искаженных знаков из 4-х, имеет вид

x
Р	0,6561	0,2916	0,0486	0,0036	0,0001

Заметим, что имеет распределение;

Задачи для самостоятельного решения

1. Задана таблица

	-1
	-

При каком значении с эта таблица будет задавать ряд распределения некоторой случайной величины ? Найти функцию распределения этой случайной величины, ее математическое ожидание и дисперсию.

2. Ряд распределения вероятностей случайной величины определяется формулами

Найти: 1) постоянную с; 2) 3) функцию распределения;

4) начальные и центральные моменты.

3. Производится независимых опытов, в каждом из которых с вероятностью р появляется событие А. Построить ряд распределения 1) числа появлений противоположного события; 2) частоты появления события А в п опытах. Для этих случайных величин найти математическое ожидание и дисперсию.

4. На пути движения автомашины четыре светофора. Каждый из них независимо от работы других светофоров с вероятностью 0,5 либо разрешает, либо запрещает автомашине дальнейшее движение. Построить ряд распределения числа светофоров, пройденных автомашиной подряд без остановки. Для этой случайной величины найти функцию распределения, математическое ожидание и дисперсию.

5. Производятся независимые выстрелы по мишени до первого промаха или пока не кончатся патроны. Построить ряд распределения для: 1) числа проведенных выстрелов; 2) числа попаданий, если имеется 5 патронов и вероятность попадания при одном выстреле 0,8; 3) числа промахов. Найти для построенных случайных величин функцию распределения, математическое ожидание и дисперсию.

6. Найти математическое ожидание и дисперсию случайных величин, имеющих типовые распределения:

7. Из сосуда, содержащего т белых и п черных шаров, извлекаются шары до тех пор, пока не появится белый шар. Построить ряд распределения, функцию распределения и найти числовые характеристики для случайной величины - число вынутых черных шаров, если a) выбор с возвращением; b) выбор без возвращения.

8. Проверяется лампочек, каждая из которых с вероятностью р может иметь дефект. Лампочка ввинчивается в патрон и включается ток. При включении тока дефектная лампочка сразу же перегорает и заменяется другой. Построить ряд распределения числа лампочек, которое будет испробовано. Вычислить математическое ожидание и дисперсию при п = 6, р == 0,2.

9. Из 20 приборов имеется 6 не точных. Найти функцию распределения, математическое ожидание и дисперсию числа точных приборов среди отобранных наудачу 5 приборов.

10. При каком значении с функция , может быть плотностью распределения вероятностей некоторой случайной величины ?

1)

2)

3)

4)

Найти функцию распределения этой случайной величины . Вычислить вероятность того, что случайная величина примет значения из интервала

(-1; ); (0;1).

11. Случайная величина имеет распределение Рэлея с плотностью распределения вероятностей

Найти коэффициент с, считая заданным. Найти функцию распределения и числовые характеристики случайной величины .

12. Случайная величина имеет распределение.

1) Найти при ; 2) Найти плотность распределения и числовые характеристики случайных величин a) b) c) .

13. Пусть ~ распределение.

1) Что больше или ?

2) Найти ф.р. и п.р.в. случайной величины где

14. Найти абсциссы точек перегиба графика функции если имеет распределение. Найти и

15. Пусть имеет распределение. Найти п.р.в. и числовые характеристики с.в. a) , если b)

16. Функция распределения случайной величины имеет закон распределения арксинуса

.

Определить постоянные а и . Найти плотность распределения вероятностей, математическое ожидание и дисперсию случайной величины . Найти

17. Модуль вектора скорости молекулы газа есть случайная величина, распределенная по закону Максвелла с плотностью распределения вероятностей

Найти среднюю скорость и дисперсию величины скорости молекулы.

18. Найти математическое ожидание, дисперсию и функцию распределения случайной величины имеющей плотность распределения вероятностей

§ 7. Случайные векторы

Задачи для самостоятельного решения

1. Производится один выстрел по мишени. Вероятность попадания в мишень равна . Рассмотрим случайный вектор где - число попаданий в мишень при этом выстреле, а - число промахов. Построить ряд распределения. Найти функцию распределения этого случайного вектора и маргинальные функции распределения. Проверить стохастическую независимость координат этого вектора. Найти числовые характеристики.

2. Случайный опыт - два независимых выстрела по мишени; вероятность попадания при каждом из выстрелов равна . Рассмотрим случайный вектор , где - число попаданий при j -ом выстреле Найти функцию распределения случайного вектора и маргинальные распределения. Проверить стохастическую независимость координат и найти числовые характеристики.

3. Случайный опыт G – два независимых бросания правильной игральной кости. Рассмотрим случайный вектор , где 1) - число очков при j- ом бросании, j =1,2; 2) -минимальное число очков при двух бросаниях, а - максимальное. Построить ряд распределения случайного вектора . Проверить стохастическую независимость, найти маргинальные распределения и числовые характеристики.

4.Случайный вектор - дискретного типа. Найти распределение суммы и произведения , если

а)

-1	0,1	0,2	0,1
	0,3	0,1	0,2

b)

x1
-1	0,125	0,375
	0,375	0,125

c)

	-1
	0,03	0,07
	0,15	0,35
	0,12	0,28

Найти также числовые характеристики и маргинальные распределения.

5.Случайный вектор имеет независимые компоненты и ~ , k =1,2. Найти a) распределение вероятностей с.в. ;

b) ; c) найти распределение вероятностей с.в. , предполагая, что

6. Пусть случайный вектор имеет независимые компоненты и ~ , . Доказать, что с.в. ~ . Найти , .

7. Случайный вектор имеет плотность распределения вероятностей 1) ,

2) Найти коэффициент , функцию распределения случайного вектора, найти маргинальные распределения и числовые характеристики. Проверить стохастическую независимость компонент данного вектора.

8. Случайный вектор . Найти плотность распределения вероятности случайного вектора и маргинальные плотности, если: 1) - квадрат с координатами вершин (-1;-1), (-1; 1), (1;-1), (1;1); 2) - квадрат с координатами вершин (-1;0), (0;1), (1;0), (0;-1); 3) - круг с центром в начале координат и радиусом равным 1.

9. Пусть случайный вектор имеет независимые компоненты и a) ; b) . Найти функцию распределения и плотность распределения вероятностей с.в. . В случае распределения b) найти и построить график плотности распределения вероятностей для

10. Пусть случайный вектор с независимыми компонентами имеет абсолютно непрерывное распределение вероятностей. Найти плотность распределения вероятностей с.в. a) ; b) ; c) ; d) . Найти тип распределения, если и . Найти числовые характеристики полученных с.в..