Рабочая тетрадь 2 страница

2.3. Геометрическая схема. Геометрическое определение вероятности обобщает классическое на случай бесконечного множества исходов , считая некоторым подмножеством Rⁿ , например, промежуток для п = 1; круг, прямоугольник для = 2; шар, параллелепипед для = 3. Математическое описание опыта G - бросание случайным образом идеальной частицы (точки) в область или выбор наудачу точки из области - принято называть геометрической схемой. В этой модели - ограниченное множество Rⁿ, имеющее n -мерный объем (меру Лебега), и ; - класс измеримых подмножеств ; - вероятностная мера на и вероятность попадания точки в область А считается равной

.

Таким образом, вероятность попадания "случайно брошенной" точки в определенное подмножество пропорциональна мере этого подмножества и не зависит от его расположения и формы.

Пример. В круг единичного радиуса бросается случайным образом точка. Найти вероятность того, что эта точка попадает в круг радиуса 0,5: а) с тем же центром; в) с центром в точке С и ОС = OD, где O - центр окружности, OD - радиус окружности.

a) ; b)

т.е. очевидно , так как

Задачи для самостоятельного решения.

1. Поступления каждого из двух сигналов в приемник равновозможны и независимы в любой момент промежутка времени Т. Определить вероятность того, что приемник будет "забит", что происходит в том случае, когда промежуток времени между моментами поступления обоих сигналов меньше .

2. Два парохода должны в течение суток подойти к одному и тому же причалу. Определить вероятность того, что одному из пароходов придется ожидать освобождения причала, если время стоянки первого парохода один час, второго - два часа, и каждый из них независимо друг от друга появляется у причала в случайный момент времени в течение данных суток.

3. В круг вписан квадрат. Точка наудачу бросается в круг. Найти вероятность того, что она попадет в квадрат.

4. В квадрат с вершинами (0;0), (0;1), (1;0), (1;1) наудачу брошена точка М. Пусть будут ее координаты. Найти вероятность того, что корни уравнения = 0 а) действительны; в) оба положительны.

5. Какова вероятность того, что сумма двух независимым образом наугад взятых положительных чисел, каждое из которых не больше единицы, не превзойдет единицы, а их произведение будет не больше 2/9?

6. Пусть и определены так же, как в задаче 4. Для найти вероятность того, что: а) ; в) ; c) ;

d) ; е) .

§ 3. Свойства вероятностей случайных событий. Условная вероятность. Стохастически независимые случайные события

Перечислим ряд свойств вероятностей случайных событий, которые являются фактически математическим отражением основных свойств частоты.

1. Вероятность достоверного события равна единице

Заметим, что в общей модели случайного опыта это утверждение является аксиомой нормировки.

2. Вероятность невозможного события равна нулю

3. Сумма вероятностей противоположных событий равна 1

4.Свойство монотонности вероятностной меры: и

5.

6.

Условной вероятностью события при условии, что событие В произошло, называется отношение вероятности совместного осуществления этих событий к вероятности того события, которое произошло

,

Можно показать, что вероятность одновременного осуществления п событий (п = 1,2,...)

, если

События стохастически независимы, если для любого подмножества имеет место равенство

Таким образом, для выяснения стохастической независимости событий необходимо проверить выполнение условий.

События попарно независимы, если стохастически независимы любые два события этой совокупности, т.е. необходимо проверить выполнение условий. Это означает, что попарная независимость является более слабым условием.

Пример. Понимая под надежностью некоторой электрической схемы вероятность безотказной работы этой схемы в течение контрольного промежутка времени и, учитывая свойства вероятностей случайных событий, решим следующую задачу.

Найти надежность электрической схемы, состоящей из идентичных элементов, которые выходят из строя независимо друг от друга, и надежность каждого равна в случае

а) последовательного соединения этих элементов;

b) параллельного соединения.

a) , т.е. нанизывая последовательно даже очень хорошие элементы, мы можем загубить этот участок цепи.

b) , т.е. мы можем повысить надежность данного участка цепи, имея достаточно большое количество элементов, возможно и не очень хороших.

Задачи для самостоятельного решения

1. Стрелок производит один выстрел в мишень, состоящую из центрального круга и двух концентрических колец. Вероятности попадания в круг и кольца соответственно равны 0,20; 0,15 и 0,10. Определить вероятность непопадания в мишень.

2. Вероятность выхода из строя k-го блока вычислительной машины за время T равна , k = 1,2,..., . Определить вероятность выхода из строя за указанный промежуток времени хотя бы одного из блоков этой машины, если работа всех блоков взаимно независима.

3. В партии, состоящей из N изделий, имеется М дефектных. Из партии выбираются случайным образом изделий. Если среди контрольных деталей окажется более т дефектных, бракуется вся партия. Найти вероятность того, что партия будет забракована.

4. Разрыв электрической цепи может произойти вследствие выхода из строя элемента К или двух элементов и , надежности которых соответственно равны 0,7; 0,8 и 0,9. Определить вероятность разрыва электрической цепи, считая, что элементы выходят из строя независимо друг от друга.

5. Найти надежность электрической схемы, состоящей из нескольких идентичных элементов, которые выходят из строя независимо друг от друга с вероятностью , :

6. Предлагается два способа дублирования последовательно соединенных пяти элементов: дублируется вся схема или дублируется каждый элемент. Сравнить эффективности (надежности) этих способов дублирования. Заметим, что дублирование некоторой схемы (элемента) означает параллельное подключение аналогичной схемы (элемента), которая работает независимо от исходной.

7. События стохастически независимы и равновероятны. Найти вероятность: а) появления хотя бы одного из этих событий; b) не появления всех этих событий; с) появления только одного из них; d) появления только .

8. Выбирают наудачу один член разложения определителя п-го порядка. Какова вероятность того, что он не содержит элементов главной диагонали? Найти предел вероятности при .

9. Абонент забыл последнюю цифру номера телефона и поэтому набирает ее наудачу. Определить вероятность того, что ему придется звонить не более, чем в 3 места. Как изменится вероятность, если известно, что последняя цифра нечетная?

10. Брошены независимым образом две игральные кости. Положим - число очков, выпавшее на первой кости, делится на , - на второй кости делится на , - сумма очков, выпавших на первой и второй костях, делится на . Установить, являются ли стохастически независимыми события а) и ; b) и для различных и ; с) и ; d) и .

11. Вероятность того, что письмо в столе, равна р, причем с равной вероятностью письмо может находиться в любом из 8 ящиков стола. Было просмотрено 7 ящиков, но письмо не нашли. Какова вероятность того, что письмо в восьмом ящике?

12. Бросают три кости. Какова вероятность того, что хотя бы на одной из них выпадает одно очко, если на всех трех костях выпали разные грани?

13.Известно, что при бросании 10 костей появилась по крайней мере одна единица. Какова вероятность того, что появились две или более единицы?

§ 4. Формула полной вероятности. Формула Байеса

Пусть события образуют разбиение множества исходов : 1. ;

2. ,

т.е. в результате опыта одно и только одно из этих событий обязательно происходит. Тогда вероятность события А вычисляется по формуле полной вероятности

.

События часто называют гипотезами, а вероятности - априорными вероятностями гипотез. Формула Байеса

, где

дает возможность произвести пересчет вероятностей гипотез . Условные вероятности принято называть апостериорными вероятностями гипотез.

Условно задачи, решаемые по формулам, можно разбить на два типа. Задачи первого типа имеют дело с экспериментами, которые состоят из двух этапов и оба этапа случайны. Тогда в качестве событий, образующих разбиение , берут события, которые полностью описывают первый этап эксперимента.

Задача 1. Имеются три одинаковые с виду партии деталей. В первой, изготовленной заводом № 1, 5% брака, во второй, изготовленной заводом № 2, 3% брака, а в третьей (завод № 3) - 10% брака. Наугад выбирается одна из партий, а затем из этой партии наудачу выбирается одна деталь. Определить вероятность того, что она бракованная.

Решение. Первый этап опыта - выбор наудачу одной из трех партий деталей, второй - выбор наудачу детали из выбранной партии. Очевидно, что

события - выбрана партия деталей, изготовленная заводом , = 1, 2,3, образуют разбиение и вероятности Тогда вероятность выбрать бракованную деталь (событие А) по формуле полной вероятности будет равна

Задача 2. Вероятность для изделий некоторого производства удовлетворять стандарту равна 0,96. Предлагается упрощенная система испытаний, дающая положительный результат с вероятностью 0,98 для изделий, удовлетворяющих стандарту; а для изделий, которые не удовлетворяют стандарту, с вероятностью 0,05. Какова вероятность того, что изделие, выдержавшее испытание, удовлетворяет стандарту? Интересующая нас вероятность

Отсюда вывод: в том случае, когда упрощенная система испытаний дает положительный результат, деталь с вероятностью, близкой к единице, является стандартной. Другими словами, данная система контроля является хорошим "фильтром "для бракованных изделий.

В задачах второго типа появляются эксперименты, условия проведения которых точно не известны, но о них (условиях) можно сделать исключа- ющих друг друга предположений (гипотез).

Задача 3. Из сосуда, содержащего п шаров, берут наудачу один. Определить вероятность того, что он белый, если все предположения о первоначальном числе белых шаров равновозможны.

Решение. В задаче неизвестными для нас будут условия проведения выбора (число белых шаров в сосуде), относительно которых мы можем выдвинуть (п + 1) гипотезу , где означает i белых шаров в сосуде, i = 0,1,..., п. Так как по условию задачи гипотезы равновероятны, то, обозначив , получим

,

откуда . Тогда по формуле полной вероятности, вероятность со-

бытия (выбран белый шар из сосуда) равна

Задача 4. Из сосуда, содержащего п шаров, взяли наудачу один шар и он оказался белым. Какое предположение о количестве белых шаров наиболее вероятно, если до опыта все предположения о числе белых шаров были равновозможны?

Решение. Так же, как в задаче 3, априорные вероятности гипотез одинаковы и равны , i = 0,1,..., n. Известно, что опыт произвели и произошло событие А (выбранный наудачу шар оказался белым). Очевидно, что появление события изменяет шансы осуществления каждой из гипотез. Так, например, если до опыта гипотеза имела положительную вероятность, то после опыта она имеет нулевые шансы к осуществлению, то есть

Для ответа на вопрос задачи вспомним, что

Тогда то есть наиболее вероятной будет гипотеза - все шары белые, что интуитивно также ясно.

Задачи для самостоятельного решения

1. Пересчитать вероятности гипотез в задаче 4 стр.14 при =5.

2. Из полного набора костей домино наугад одна за другой берутся две кости. Определить вероятность того, что вторую кость можно приставить к первой.

3. Из сосуда, содержащего 5 белых и 4 черных шара, был потерян один шар. После этого из сосуда наудачу выбран шар. Найти вероятность того, что выбранный шар окажется белым.

4. В ящике находятся 15 теннисных мячей, из которых 9 новых. Для первой игры наугад берутся три мяча, которые после игры возвращаются в ящик. Затем для второй игры наугад выбираются три мяча. Найти вероятность того, что все мячи, взятые для второй игры, новые.

5. В сосуд, содержащий п шаров, опущен белый шар. Какова вероятность извлечь из этого сосуда белый шар, если все предположения о первоначальном числе белых шаров в сосуде равновозможны?

6. Имеется 10 карточек, на которых написаны числа 3,3,3,4,4,5,5,6,6,6. Две из этих карточек выбираются наугад одна за другой. Число, написанное на первой карточке, берется за числитель, на второй - за знаменатель дроби. Найти вероятность того, что дробь будет правильной.

7. Группа студентов, сдающих экзамен, состоит из 4 отличников, 10 хорошистов и 20 слабых студентов. Отличник всегда сдает экзамен на "5". Хорошист может получить "4" или "5" с равными вероятностями. Слабый студент может получить "4", "3" или "2" с равными вероятностями. Наудачу выбранный студент получил "4". Что вероятнее - это был хорошист или слабый студент?

8. Имеется n урн, в каждой из которых находится а белых и b черных шаров. Наудачу выбранный шар из первой урны перекладывается во вторую, затем из второй - в третью и т.д. После такого перекладывания из последней урны наудачу выбирается один шар. Найти вероятность того, что будет выбран белый шар.

9. По каналу связи может быть передана одна из трех последовательностей букв: АААА, ВВВВ, СССС, причем априорные вероятности каждой из последовательностей есть соответственно 0,3; 0,4; 0,3. Известно, что действие шумов уменьшает вероятность правильного приема каждой буквы до 0,6, а вероятность приема переданной буквы за любую другую становится равной 0,2 и 0,2. Предполагается, что буквы искажаются независимо друг от друга. Найти вероятность того, что была передана последовательность АААА, если на приемном устройстве было получено - АВСА.

10. Из 18 стрелков пятеро попадают в мишень с вероятностью 0,8; семеро - с вероятностью 0,7; четверо - с вероятностью 0,6 и двое - с вероятностью 0,5. Наудачу выбранный стрелок произвел выстрел, но в мишень не попал. К какой из групп вероятнее всего принадлежал этот стрелок?

11. В техникуме студентов, из которых (k = 1,2,3) человек учатся k-й год. Среди двух наудачу выбранных студентов оказалось, что один из них учится больше второго. Какова вероятность того, что этот студент учится третий год?

§ 5. Схема Бернулли.

Испытания Бернулли - это независимых повторений некоторого опыта, в результате которого может произойти или не произойти некоторое событие, условно называемое "успехом", с одной и той же вероятностью р для каждого из повторений.

В принятой нами аксиоматике испытание – это некоторое вероятностное пространство. Тогда схема Бернулли строится следующим образом:

где Тогда

где

Вероятность того, что ровно k опытов из закончатся "успехом " будет

Пример. Что вероятнее: выиграть у равносильного противника (ничейный исход партии исключен) три партии из четырех или пять из восьми?

Решение. Так как противники равносильны, то вероятность выигрыша и проигрыша каждой партии одинаковы и равны Тогда вероятность выиграть три партии из четырех

а вероятность выиграть пять партий из восьми

Так как , то вероятнее выиграть три партии из четырех.

Задачи для самостоятельного решения.

1. Определить вероятность того, что в результате 10 независимых бросаний честной монеты герб появится: a) три раза; b) не более трех раз.

2. При раздаче колоды в 52 карты четырем игрокам один из них три раза подряд не получал тузов. Есть ли у него основание жаловаться на "невезение"?

3. Два баскетболиста делают по три броска мячом в корзину независимо друг от друга. Вероятности попадания мяча при каждом броске равны соответственно 0,6 и 0,7. Найти вероятность того, что: а) у обоих будет равное число попаданий; б) у первого баскетболиста будет больше попаданий, чем у второго.

4. Произведено 20 независимых испытаний, каждое из которых заключается в одновременном бросании трех монет. Найти вероятность того, что хотя бы в одном испытании появятся три герба.

5. При передаче сообщения вероятность искажения одного знака равна 0,1. Какова вероятность того, что сообщение из 10 знаков: a) не будет искажено; b) содержит ровно три искажения; c) содержит не более трех искажений? Предполагается, что знаки передаются независимо друг от друга.

6. Событие B наступает в том случае, если событие A появится не менее трех раз. Определить вероятность появления события B, если вероятность появления события А при одном опыте равна 0,3 и произведено: a) 5 независимых опытов; b) 7 независимых опытов.

§ 6. Случайные величины

Пусть G - случайный опыт, математическое описание которого< >. Часто при решении практических задач нас интересуют не сами исходы , а их числовые характеристики, т.е. величины, значения которых зависят от исходов опыта. Такую величину естественно назвать случайной.