Теория вероятностей 2 страница

- множество исходов опыта G;

- множество случайных событий, наблюдаемых в опыте G (класс подмножеств , называемый алгеброй или -алгеброй);

- вероятность случайных событий (вероятностная мера на измеримом пространстве ). Связь вероятностной и теоретико-множественной терминологии отражена в таблице 1.

2.1. Алгебра событий. Рассмотрим случайный опыт G, множество исходов которого конечно. В такой модели событием назовем любое подмножество .

Пример. Случайный опыт G - выбор наудачу одной кости из полного набора костей домино. Возможные математические модели данного опыта:

Модель 1.

.

- совокупность всех подмножеств .

, (о вероятности см. ниже).

Модель 2.

где означает, что выбран дубль, а - не дубль.

, где - невозможное событие; - достоверное событие.

Рассмотрим несколько возможных результатов опыта G:

1) А- выбран дубль.

2) В - сумма очков на выбранной кости равна 6.

В первой модели А = {(0.0), (1,1), (2,2), (3,3). (4.4), (5,5), (6,6)};

В ={(0,6), (1.5), (2.4), (3,3)}.

Во второй модели А = -элементарное событие. В - не является событием, так как при появлении любого из исходов или мы не можем сказать, осуществлялся или нет результат В.

Вернемся к наиболее содержательной первой модели. Так как события в модели являются подмножествами, то к ним можно применять все теоретико-множественные операции. Например,

В \ А = {(0,6). (1,5), (2,4)}, , {(0,0), (1,1), (2,2), (3,3), (4.4), (5,5), (6,6), (0,6), (1.5), (2,4)}, \ A - не дубль.

Задачи для самостоятельного решения

1. Мишень состоит из десяти кругов, ограниченных концентрическими окружностями с радиусами . Событие - попадание в круг радиуса при одном выстреле по мишени. Описать множество исходов данного опыта. Что означают события , , ,

.

2. Электрическая цепь состоит из элементов. Пусть событие А означает, что цепь безотказно работает в течение контрольного промежутка времени, а события - то же для -ого элемента;

А. Выразить событие А и через события для цепей с параллельным и последовательным соединением элементов.

В. Выразить через указанные ниже события: В - отказали все элементы, С - отказал хотя бы один элемент, D - безотказно работал один и только один из элементов, Е - отказали только два элемента..

3. Случайный опыт – испытание трех приборов. События: А - хотя бы один из трех проверяемых приборов бракованный; В - все приборы доброкачественные. Что означают события a) ; b) c) d) .

4. Опыт состоит в однократном бросании игральной кости. Описать возможные для данного опыта множества исходов. В каждой из предложенных моделей указать события: А - число очков, выпавших на верхней грани игральной кости, кратно трем; В - на верхней грани выпало нечетное число очков: С - число очков больше трех; D - число очков меньше семи; Е - число очков 0,5; F - число очков от 0,5 до 1,5. Установить пары совместных событий. Описать события

5. Пусть А и В - произвольные события, наблюдаемые в опыте G.

Проверить следующие равенства

a) ;

b)

6. Пусть число исходов равно Указать минимальное и максимальное возможные значения для числа всех случайных событий.

7. Может ли быть: a) число исходов конечно, а число всех случайных событий бесконечно; b) число всех случайных событий конечно, а число исходов бесконечно; c) число исходов больше, чем число всех событий.

В последующих пунктах мы рассмотрим примеры вероятностных пространств , объединенных интуитивным понятием равновозможности результатов опыта..

2.2. Классическая схема (модель). Рассмотрим опыт G, число возможных исходов которого конечно и все исходы равновозможны, т.е. непредпочтительны друг перед другом или имеют одинаковые шансы к появлению. Тогда

,

Обратимся к примеру п.2.1. В первой модели вероятность того, что выбранная наудачу кость окажется дублем

т.е. в длинной серии испытаний (каждый раз выбираем случайным образом одну кость из тщательно перемешанного полного набора) примерно четверная часть из них закончится появлением дубля.

В этой же модели

Во второй модели два возможных исхода опыта не являются равновоз-можными, т.е. в длинной серии независимых испытаний не дубль появляется чаще, чем дубль. В этой модели можно воспользоваться только статистическим способом задания вероятностей элементарных событий.

Поучительным примером невозможности выбора и обоснования вероятностной модели на основании априорных не физических соображений является разнообразие вероятностных распределений для различных способов размещения физических частиц по ячейкам, например, электронов по орбитам. До настоящего времени известно три модели:

Максвела-Больцмана - все размещений различных частиц по различным ячейкам равновероятны.

Бозе-Энштейна - все способов заполнения различных ячеек неразличимыми частицами равновероятны (в статистической механике показано, что это предположение справедливо для фотонов, атомных ядер и атомов, содержащих четное число элементарных частиц)

Ферми-Дирака - все способов распределения равновероятны (эта модель применима к электронам, нейтронам и протонам).

Задачи для самостоятельного решения

1. Куб, все грани которого окрашены, распилен на тысячу кубиков одинакового размера. Полученные кубики тщательно перемешаны. Определить вероятность того, что наудачу извлеченный кубик будет иметь: а) три окрашенные грани; b) только две окрашенные грани; с) только одну окрашенную грань; d) не имеет окрашенных граней.

2. Ребенок играет с 10 буквами разрезной азбуки А,А,А,Е,И,К,М,М,Т,Т. Какова вероятность того, что при случайном расположении букв в ряд он получит слово МАТЕМАТИКА?

Для решения задачи рекомендуем построить две модели: в одной все десять карточек считать различными, в другой - карточки с одинаковыми буквами неразличимы. Получив, естественно, одно и то же значение вероятности, объясните это.

3. У человека N ключей, из которых только один подходит к его двери. Он последовательно испытывает их, выбирая случайным образом (без возвращения), найти вероятность того, что этот процесс закончится на k -ом испытании.

4. Абонент забыл две последние цифры номера телефона и потому набрал их наудачу, помня лишь то, что а) эти цифры различны; в) эти цифры нечетные. Найти вероятность того, что номер набран правильно.

5. В шахматном турнире участвуют 20 человек, которые по жребию распределяются на две группы по 10 человек. Найти вероятность того, что а) двое наиболее сильных игроков будут играть в разных группах; в) четверо наиболее сильных игроков попадут по два в разные группы.

6. Из урны, содержащей шары с номерами 1,2,.....9, пять раз наугад вынимают шар и каждый раз возвращают обратно. Найти вероятность того, что из номеров вынутых шаров можно составить возрастающую последовательность.

7. Десять студентов договорились о поездке за город, но не договорились о вагоне. Поэтому каждый из них выбирает для себя вагон случайным образом. Найти вероятность того, что а) все попадут в разные вагоны; в) все попадут в первый вагон; с) все попадут в один вагон, считая число вагонов .

8. В отделение связи поступило шесть телеграмм. Телеграммы случайным образом распределяют по четырем каналам, причем каждая телеграмма может быть передана по любому из четырех каналов. Найти вероятность того, что на первый канал попадут три телеграммы, на второй - две телеграммы, на третий - одна телеграмма и четвертый канал не будет загружен.

2.3. Геометрическая схема. Геометрическое определение вероятности обобщает классическое на случай бесконечного множества исходов , считая некоторым подмножеством Rⁿ , например, промежуток для п = 1; круг, прямоугольник для = 2; шар, параллелепипед для = 3. Математическое описание опыта G - бросание случайным образом идеальной частицы (точки) в область или выбор наудачу точки из области - принято называть геометрической схемой. В этой модели - ограниченное множество Rⁿ, имеющее n -мерный объем (меру Лебега), и ; - класс измеримых подмножеств ; - вероятностная мера на и вероятность попадания точки в область А считается равной

.

Таким образом, вероятность попадания "случайно брошенной" точки в определенное подмножество пропорциональна мере этого подмножества и не зависит от его расположения и формы.

Пример. В круг единичного радиуса бросается случайным образом точка. Найти вероятность того, что эта точка попадает в круг радиуса 0,5: а) с тем же центром; в) с центром в точке С и ОС = OD, где O - центр окружности, OD - радиус окружности.

a) ; b)

т.е. очевидно , так как

Задачи для самостоятельного решения.

1. Поступления каждого из двух сигналов в приемник равновозможны и независимы в любой момент промежутка времени Т. Определить вероятность того, что приемник будет "забит", что происходит в том случае, когда промежуток времени между моментами поступления обоих сигналов меньше .

2. Два парохода должны в течение суток подойти к одному и тому же причалу. Определить вероятность того, что одному из пароходов придется ожидать освобождения причала, если время стоянки первого парохода один час, второго - два часа, и каждый из них независимо друг от друга появляется у причала в случайный момент времени в течение данных суток.

3. В круг вписан квадрат. Точка наудачу бросается в круг. Найти вероятность того, что она попадет в квадрат.

4. В квадрат с вершинами (0;0), (0;1), (1;0), (1;1) наудачу брошена точка М. Пусть будут ее координаты. Найти вероятность того, что корни уравнения = 0 а) действительны; в) оба положительны.

5. Какова вероятность того, что сумма двух независимым образом наугад взятых положительных чисел, каждое из которых не больше единицы, не превзойдет единицы, а их произведение будет не больше 2/9?

6. Пусть и определены так же, как в задаче 4. Для найти вероятность того, что: а) ; в) ; c) ;

d) ; е) .

§ 3. Свойства вероятностей случайных событий. Условная вероятность. Стохастически независимые случайные события

Перечислим ряд свойств вероятностей случайных событий, которые являются фактически математическим отражением основных свойств частоты.

1. Вероятность достоверного события равна единице

Заметим, что в общей модели случайного опыта это утверждение является аксиомой нормировки.

2. Вероятность невозможного события равна нулю

3. Сумма вероятностей противоположных событий равна 1

4.Свойство монотонности вероятностной меры: и

5.

6.

Условной вероятностью события при условии, что событие В произошло, называется отношение вероятности совместного осуществления этих событий к вероятности того события, которое произошло

,

Можно показать, что вероятность одновременного осуществления п событий (п = 1,2,...)

, если

События стохастически независимы, если для любого подмножества имеет место равенство

Таким образом, для выяснения стохастической независимости событий необходимо проверить выполнение условий.

События попарно независимы, если стохастически независимы любые два события этой совокупности, т.е. необходимо проверить выполнение условий. Это означает, что попарная независимость является более слабым условием.

Пример. Понимая под надежностью некоторой электрической схемы вероятность безотказной работы этой схемы в течение контрольного промежутка времени и, учитывая свойства вероятностей случайных событий, решим следующую задачу.

Найти надежность электрической схемы, состоящей из идентичных элементов, которые выходят из строя независимо друг от друга, и надежность каждого равна в случае

а) последовательного соединения этих элементов;

b) параллельного соединения.

a) , т.е. нанизывая последовательно даже очень хорошие элементы, мы можем загубить этот участок цепи.

b) , т.е. мы можем повысить надежность данного участка цепи, имея достаточно большое количество элементов, возможно и не очень хороших.

Задачи для самостоятельного решения

1. Стрелок производит один выстрел в мишень, состоящую из центрального круга и двух концентрических колец. Вероятности попадания в круг и кольца соответственно равны 0,20; 0,15 и 0,10. Определить вероятность непопадания в мишень.

2. Вероятность выхода из строя k-го блока вычислительной машины за время T равна , k = 1,2,..., . Определить вероятность выхода из строя за указанный промежуток времени хотя бы одного из блоков этой машины, если работа всех блоков взаимно независима.

3. В партии, состоящей из N изделий, имеется М дефектных. Из партии выбираются случайным образом изделий. Если среди контрольных деталей окажется более т дефектных, бракуется вся партия. Найти вероятность того, что партия будет забракована.

4. Разрыв электрической цепи может произойти вследствие выхода из строя элемента К или двух элементов и , надежности которых соответственно равны 0,7; 0,8 и 0,9. Определить вероятность разрыва электрической цепи, считая, что элементы выходят из строя независимо друг от друга.

5. Найти надежность электрической схемы, состоящей из нескольких идентичных элементов, которые выходят из строя независимо друг от друга с вероятностью , :

6. Предлагается два способа дублирования последовательно соединенных пяти элементов: дублируется вся схема или дублируется каждый элемент. Сравнить эффективности (надежности) этих способов дублирования. Заметим, что дублирование некоторой схемы (элемента) означает параллельное подключение аналогичной схемы (элемента), которая работает независимо от исходной.

7. События стохастически независимы и равновероятны. Найти вероятность: а) появления хотя бы одного из этих событий; b) не появления всех этих событий; с) появления только одного из них; d) появления только .

8. Выбирают наудачу один член разложения определителя п-го порядка. Какова вероятность того, что он не содержит элементов главной диагонали? Найти предел вероятности при .

9. Абонент забыл последнюю цифру номера телефона и поэтому набирает ее наудачу. Определить вероятность того, что ему придется звонить не более, чем в 3 места. Как изменится вероятность, если известно, что последняя цифра нечетная?

10. Брошены независимым образом две игральные кости. Положим - число очков, выпавшее на первой кости, делится на , - на второй кости делится на , - сумма очков, выпавших на первой и второй костях, делится на . Установить, являются ли стохастически независимыми события а) и ; b) и для различных и ; с) и ; d) и .

11. Вероятность того, что письмо в столе, равна р, причем с равной вероятностью письмо может находиться в любом из 8 ящиков стола. Было просмотрено 7 ящиков, но письмо не нашли. Какова вероятность того, что письмо в восьмом ящике?

12. Бросают три кости. Какова вероятность того, что хотя бы на одной из них выпадает одно очко, если на всех трех костях выпали разные грани?

13.Известно, что при бросании 10 костей появилась по крайней мере одна единица. Какова вероятность того, что появились две или более единицы?

§ 4. Формула полной вероятности. Формула Байеса

Пусть события образуют разбиение множества исходов : 1. ;

2. ,