Теория вероятностей 1 страница

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

Пособие для студентов по специальностям 010100 и 510100

ВОРОНЕЖ

Утверждено научно-методическим советом математического

факультета (2 сентября 2003г., протокол №2)

Составители: Михайлова И. В.

Баркова Л. Н.

Пособие подготовлено на кафедре уравнений в частных производных и теории вероятностей математического факультета Воронежского государственного университета.

Рекомендуется для студентов 3 курса дневного и 5 курса вечернего отделений.

§1. Элементы комбинаторики.

Центральной задачей комбинаторной теории (комбинаторики) можно считать задачу размещения (распределения) объектов в соответствии со специальными правилами. Если эти правила просты, то основным в этой задаче является подсчет числа возможностей для осуществления искомого размещения. Задачи такого типа принято называть задачами перечисления. Если же правила распределения объектов сложны, то главной проблемой становится вопрос существования таких распределений и нахождения методов их осуществления.

Нас будут интересовать только перечислительные задачи. В том случае, когда интересующих нас вариантов размещения немного, мы можем все эти варианты перебрать. В других случаях это невозможно из-за большого числа вариантов и тогда на помощь приходят основные правила подсчета: принципы

(правила) сложения и умножения.

Принцип суммы. Пусть множество А содержит п элементов, а множество B - k элементов, причем . Тогда множество содержит п + k элементов.

Замечание 1. Если обозначить - число элементов множества А, то в формализованном виде правило суммы можно сформулировать следующим образом: если то .

Замечание 2. При решении задач удобной бывает следующая формулировка: элемент из А или элемент из В можно выбрать п+ k числом способов, где п - количество способов выбрать элемент из А, k – элемент из В.

Принцип произведения. Пусть заданы два множества и . Тогда декартово произведение

содержит элементов, т.е. , если

Подводя итог сказанному, подчеркнем, что если выбирается или то или другое, то нужно применять правило суммы, а если и то, и другое, то правило произведения. Например, на тарелке лежат 5 яблок и 3 груши. Если выбираем яблоко или грушу, то число способов 5+3=8. Если выбираем и яблоко, и грушу, то 5 • 3 == 15.

Замечание 1. Пусть необходимо выполнить одно за другим какие-то действий ( 2). Если первое действие можно выполнить способами, после чего второе способами, после чего и т.д. - ое действие можно выполнить способами, то все действий можно выполнить способами.

Замечание 2.Если на выполнение какого-либо из действий наложены ограничения (т.е. некоторое действие необходимо выполнить по-особому, не так, как другие), то обычно бывает целесообразно подсчет начинать именно с этого действия.

Пример. В автомашине семь мест. Сколькими способами семь человек могут сесть в эту машину, если занять место водителя могут только трое из них?

Решение. Для размещения семи человек в автомашине необходимо выполнить семь действий (заполнить семь мест), то есть = 7. На одно из этих действий (заполнение места водителя) наложены ограничения. Поэтому это действие будем считать первым и тогда = 3, после чего заполнение любого из оставшихся можно осуществить = 6 способами и т.д. Заполнение последнего места можно выполнить только одним способом, то есть = 1. Согласно принципу умножения, все семь действий можно выполнить 3 способами.

Принципы умножения и сложения дают нам общий метод решения задач. Помимо этого общего метода, полезными оказываются следующие понятия и формулы.

Рассмотрим сначала следующую задачу. Из трех букв нужно выбрать какие-то две. Сколько способов выбора? Оказывается здесь спрятаны четыре задачи.

Считать ли ab и одинаковыми вариантами? Если порядок выбора существенен, то варианты выбора будем называть размещениями. Если порядок выбора безразличен, то варианты выбора будем называть сочетаниями.

Другой важный вопрос - возможны ли повторения? То есть можем ли мы выбирать два раза одну какую-либо букву? Если да, то мы говорим о размещениях или сочетаниях с повторениями, а если нет - то о размещениях или сочетаниях без повторений.

Итак, пусть - множество произвольной природы, содержащее п элементов, n .

Размещениями без повторений или просто размещениями из n элементов множества В по элементов будем называть всевозможные упорядоченные подмножества В, содержащие различных элементов множества В. Число размещений из n по

и при

Размещениями с повторением из п элементов множества по элементов будем называть упорядоченные наборы по элементов множества , среди которых могут быть и одинаковые элементы. Число таких размещений

.

Перестановками из п элементов множества В назовем размещения из п элементов множества по n элементов. Число перестановок из п различных элементов .

Сочетаниями из n элементов множества по элементов называются подмножества множества В, содержащие различных элементов множества В. Число сочетаний из n по

Сочетаниями с повторениями из п элементов множества В по элементов называются всевозможные наборы, содержащие элементов множества В, среди которых могут быть одинаковые. Число сочетаний с повторениями из по

,

Замечания. Различные размещения из п элементов множества В по элементов (с повторениями и без повторений) отличаются друг от друга составом (хотя бы одним из элементов) или порядком (роль элементов в размещении различна).

Различные перестановки из n элементов множества В отличаются друг от друга только порядком следования элементов.

Различные сочетания из n элементов множества В по элементов отличаются друг от друга только составом.

Возвратимся к поставленной задаче и найдем число способов выбора двух букв из указанных.

В том случае, когда осуществляется выбор без возвращения выбранного элемента в исходную совокупность, т.е. речь идет о размещениях без повторений, число вариантов равно Перечислим их .

Если же осуществляется выбор с возвращением, то число вариантов равно . Это - .

В другом случае, если порядок букв не существенен и буквы не повторяются, то, используя формулу сочетаний без повторений, имеем

. Здесь варианты .

И, наконец, число сочетаний с повторениями а варианты: .

Задачи для самостоятельного решения

1. На окружности выбрано десять точек. Сколько существует хорд с концами в этих точках? Сколько ненулевых векторов с концами в этих точках? Сколько векторов с концами в этих точках? Сколько треугольников с вершинами в этих точках? Сколько выпуклых пятиугольников, выпуклых десятиугольников?

2. Даны три карточки с цифрами 1,2,3. Сколько чисел можно составить из этих трех карточек?

3. Десять спортсменов разыгрывают золотую, серебряную и бронзовую медали. Сколькими способами эти медали могут быть распределены между спортсменами?

4. Сколькими способами девушек могут образовать хоровод?

5. Сколькими способами различных шаров можно разместить по различным ячейкам, предполагая, что а) в ячейке может быть более одного шара; в) не может быть более одного шара.

6. Сколько различных подмножеств, включая само множество и пустое, можно выделить из множества, содержащего элементов.

7. В розыгрыше лотереи участвуют 3 человека. Каждому из них присвоен порядковый номер. Участники лотереи должны вытащить одну карточку из трех с номерами 1,2,3. Призы выдаются тем, кто вытащит карточку со своим порядковым номером. Каково число вариантов, в которых выигрыш только у одного участника лотереи? В которых ни один не выигрывает? Ответить на вопросы для произвольного

8. Сколько пятибуквенных слов (перестановок), каждое из которых состоит из трех согласных и двух гласных, можно образовать из букв слова УРАВНЕНИЕ.

§ 2. Математическая модель случайного опыта.

Пусть G - некоторый случайный опыт, обладающий свойством устойчивости частот, т.е.

опыт, результаты которого не могут быть предсказаны однозначно до проведения испытаний;

возможны повторения испытания с первоначальным комплексом исходных данных сколь угодно большое число раз;

невозможно точное предсказание результата не только первого испытания, но и каждого последующего;

при неограниченном увеличении количества проведенных испытаний частота любого исхода стабилизируется, т.е. в определенном смысле близка к некоторой постоянной, называемой в дальнейшем вероятностью исхода.

Математическая модель такого случайного опыта G называется вероятностным пространством и обозначается Сокращенно ~ , где