Пример решения задачи Д 4

Вертикальный вал длиной 3а (АВ=ВD =DЕ=ЕК=а), закрепленный подпятником А и подшипником D (Рис. Д 4,а), вращается с постоянной угловой скоростью ω. К валу жестко прикреплен в точке Е ломаный однородный стержень массой m и длиной , состоящий из двух частей 1 и 2, а в точке В прикреплен невесомый стержень длиной с точечной массой m ₃ на конце; оба стержня лежат в одной плоскости.

Д а н о:

О п р е д е л и т ь: реакции подпятника А и подшипника D, пренебрегая весом вала.

Решение: 1. Изображаем (с учетом заданных углов) и прикрепленные к нему в точках В и Е стержни (рис. Д4, б). Массы и веса частей 1 и 2 ломаного стержня пропорциональны длинам этих частей и соответственно равны

. (1)

2. Для определения исходных реакций рассмотрим движение заданной механической системы и применим принцип Даламбера. Проведем вращающиеся вместе с валом координатные оси Аху так, чтобы стержни лежали в плоскости ху, и изобразим действующие на систему силы: активные силы – силы тяжести P₁, P₂, P₃ и реакции связей – составляющие реакции подпятника Х_А, У_А и реакцию цилиндрического подшипника R_D.

Согласно принципу Даламбера, присоединим к этим силам силы инерции элементов однородного ломаного стержня и груза, считая его материальной точкой.

Так как вал вращается равномерно, то элементы стержня имеют только нормальные ускорения , направленные к оси вращения, а численно расстояния элементов от оси вращения. Тогда силы инерции - будут направлены от оси вращения, а численно

масса элемента. Так как все пропорциональны , то эпюры этих параллельных сил инерции стержня образуют для части 1 треугольник, а для части 2 –прямоугольник (рис. Д4,б).

Каждую из полученных систем параллельных сил инерции заменим ее равнодействующей, равной главному вектору этих сил. Так как модуль главного вектора сил инерции любого тела имеет значение , где m - масса тела, - ускорение его центра масс, то для частей стержня соответственно получим

(2)

Сила инерции точечной массы 3 должна быть направлена в сторону, противоположную ее ускорению и численно будет равна

(3)

Ускорения центров масс частей 1 и 2 стержня и груза 3 равны:

, , , (4)

где расстояния центров масс частей стержня от оси вращения, а соответствующее расстояние груза:

,

, (5)

.

Рис. Д 4.а

Рис. Д 4. б

Подставив в (2) и (3) значения (4) и учтя (5), получим числовые значения :

,

, (6)

.

При этом линии действия равнодействующих пройдут через центры тяжестей соответствующих эпюр сил инерции. Так, линия действия проходит на расстоянии от вершины треугольника Е, где .

3. Согласно принципу Даламбера, приложенные внешние силы (активные и реакции связей) и силы инерции образуют уравновешенную систему сил. Составим для этой плоской системы сил три уравнения равновесия. Получим

;

(7)

Где плечи сил относительно точки А, равные (при подсчетах учтено, что м)/

м,

м. (8)

Подставив в уравнение (7) соответствующие величины из равенств (1), (5), (6), (8) и решив эту систему уравнений (7), найдем искомые реакции.

О т в е т: Х_А=-33,7 Н, У_А= 117,7 Н, R_D=-45,7 Н.

Рис.Д 4.0 Рис. Д4.1

Таблица Д 4.

Номер условия	Подшипник в точке	Крепление в точке	α, град.	β, град.	γ,град.	φ,град.
ломаного стержня	невесомого стержня	рис.0-4	рис.5-9
	В	D	К
	К	В	D
	К	Е	В
	D	К	В
	К	D	Е
	Е	В	К
	Е	D	К
	К	В	Е
	D	Е	К
	Е	К	D

Рис. Д4.2 Рис.Д4.3

Рис. Д4.4 Рис. Д4.5

Рис. Д4.6 Рис. Д4.7

Рис. Д4.8 Рис. Д4.9

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ