![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Осталось рассмотреть множества, заданные уравнениями (35.21), (35.23), (35.30), (35.31), (35.32), (47.7), (47.22) и (35.20)
Определение 47.16. Поверхность второго порядка называется распадающейся, если она состоит из двух поверхностей первого порядка.
В качестве примера рассмотрим поверхность, заданную уравнением
(35.21)
Левую часть равенства (35.21) можно разложить на множители
(47.36)
Таким образом, точка лежит на поверхности, заданной уравнением (35.21) тогда и только тогда, когда её координаты удовлетворяют одному из следующих уравнений
или
. А это – уравнения двух плоскостей, которые согласно параграфу 36 (см.п.36.2, 10-ая строка таблицы), проходят через ось аппликат OZ. Следовательно, уравнение (35.21) задаёт распадающуюся поверхность, а точнее – две пересекающихся плоскости.
Задача: Доказать, что если поверхность одновременно является и цилиндрической, и конической, а также состоит более, чем из одной прямой линии, то она распадается, т.е. содержит в себе некоторую плоскость.
Рассмотрим теперь уравнение (35.30)
Его можно разложить на два линейных уравнения и
. Таким образом, если точка лежит на поверхности, заданную уравнением (35.30), то её координаты должны удовлетворять одному из следующих уравнений:
и
. А это, согласно параграфу 36 (см. п.36.2 6-я строка таблицы), является уравнением плоскостей, параллельных плоскости
. Таким образом, уравнение (35.30) задаёт две параллельные плоскости и тоже является распадающейся поверхностью.
Отметим, что всякую пару плоскостей и
можно задать следующим уравнением второго порядка
. Уравнения же (35.21) и (35.30) – это канонические уравнения двух плоскостей, то есть их уравнения в специально подобранной системе координат, где они (эти уравнения) имеют наиболее простой вид.
Уравнение же (35.31)
вообще эквивалентно одному линейному уравнению у = 0 и представляет собой одну плоскость (согласно параграфу 36 п.36.2, 12-ая строка таблица, это уравнение задаёт плоскость ).
Отметим, что всякая плоскость можно задать и следующим уравнением второго порядка
.
По аналогии с уравнением (35.30) (при ) иногда говорят, что равенство (35.20) задаёт две слившиеся параллельные плоскости.
Переходим теперь к вырожденным случаям.
1.Уравнение (35.20)
Заметим, что точка M(x, y, z) принадлежит множеству, заданному уравнением (35.20), тогда и только тогда, когда её первые две координаты х=у=0 (а её третья координаты z может быть какой угодно). А это означает, что уравнение (35.20) задаёт одну прямую линию – ось аппликат OZ.
Отметим, что уравнение всякое прямой линии (см. параграф 40, п.40.1, а также параграф 37, система (37.3)) можно задать следующим уравнением второго порядка
. Равенство же (35.20) является каноническим уравнением второго порядка для прямой линии, т.е. её уравнением второго порядка в специально подобранной системе координат, где оно (это уравнение) имеет наиболее простой.
2. Уравнение (47.7)
Уравнению (47.7) может удовлетворять лишь одна тройка чисел x=y=z=0. Таким образом, равенство (47.7) в пространстве задаёт лишь одну точку О (0; 0; 0) – начало координат; координаты никакой другой точки пространства равенству (47.7) удовлетворять не могут. Отметим также, что множество, состоящие из одной точки можно задать следующим уравнением второго порядка:
3. Уравнение (35.23)
А этому уравнению вообще не могут удовлетворять координаты никакой точки пространства, т.е. оно определяет пустое множество. По аналогии с уравнением (33.4)
(см. п. 47.5, определением 47.8), его ещё называют мнимым эллиптическим цилиндром.
4. Уравнение (35.32)
Этому уравнению также не могут удовлетворять координаты никакой точки пространства, поэтому и оно определяет пустое множество. По аналогии со сходным уравнением (35.30), эту «поверхность» ещё называют мнимыми параллельными плоскостями.
5. Уравнение (47.22)
И этому уравнению не могут удовлетворять координаты никакой точки пространства, и, следовательно, и оно определяет пустое множество. По аналогии с равенством с равенством (47.17) (см. п. 47.2), это множество ещё называют мнимым эллипсоидом.
Все случаи рассмотрены.
Дата публикования: 2014-11-04; Прочитано: 1124 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!