Б) Однополостный гиперболоид

Однополостным гиперболоидом называется поверхность, координаты всех точек которой в некоторой системе координат имеют уравнение

(47.18)

Общий вид однополостного гиперболоида изображён на рис. 47.4

Если мы будем вращать гиперболу вокруг непересекающей её оси симметрии, то получим однополостной гиперболоид вращения (см.рис. 47.5)

Рис. 47.4 Рис. 47.5

z

В сечении однополостного гиперболоида плоскостями могут получаться: см.рис.47.6, на котором гиперболоид и все секущие плоскости представлены как вид сбоку):

Рис. 47.6 Рис. 47.7

- эллипс (из рис.47.6 видно, что в сечении гиперболоида плоскостью эллипса должна получиться некоторая ограниченная кривая второго порядка, т.е. эллипс;

- гипербола (согласно рис.47.6, в сечении гиперболоида плоскостью гипербола получается разрывная кривая второго порядка, т.е. гипербола;

- парабола (получается в сечении однополостного гиперболоида плоскостью параллельной образующей его ассимтотического конуса; читателю предлагаем самостоятельно из рис.47.6 установить, что тогда в сечение возникает некоторая неограниченная непрерывная кривая второго порядка, т.е. парабола).

В сечении также можно получить и две пересекающихся прямые линии (например, в сечении плоскостью у = b; читателю предлагаем подставить значение у = b в уравнение (47.18) и показать, что в этом случае получится уравнение пересекающихся прямых линий).

Остальные линии второго порядка в сечении однополостного гиперболоида плоскостью получить нельзя.