Диагональные матрицы

Матрица называется диагональной, если все её элементы, стоящие вне главной диагонали, равны нулю.

Имеет место следующая теорема:

Всякая невырожденная матрица эквивалентна некоторой диагональной и единичной.

Теорему доказываем методом математической индукции по порядку матрицы.

1. База индукции: пусть n=2.

, т.е.

Из 1-ой строки вычитаем 2-ую, умноженную на – диагональная матрица.

2. Шаг индукции:

Заметим, что (более того, для любого j=1,2,…,k,k+1), ибо (см параграф 3, п.3.3) . Тогда, вычитая из j-ой строки (k+1)-ю (j=1,2,…,k), умноженную на , получим, что:

(9.1)

матрица k-го порядка, которая, по индуктивному предположению, сводится к диагональной.

.

А поделив j-ю строку (j=1,2,…,k,k+1) на (как уже отмечалось ранее, для любого j), получим единичную матрицу.

Теорема доказана.

Вопрос

(Метод Гаусса) Решение произвольной системы линейных уравнений

Системы линейных уравнений называются эквивалентными, если эквивалентны их расширенные матрицы.

Метод Гаусса заключен к сведению расширенной матрицы к ступенчатой.

Рассмотрим его на примере, решая следующую систему:

1) Из второй строки вычтем утроенную первую, а из третьей – удвоенную первую;

2) вторую строку поделим на «-11», а третью – на «-3»;

3) к третьей строке прибавим вторую.

Обратный ход:

Матрица задает следующую систему уравнений

Тогда: ; и .

Вопрос

Понятие ранга матрицы

Рангом матрицы называется наибольший из порядков отличного от нуля минора матрицы.

При этом под минором матрицы А k -го порядка (обозначение: ) будем понимать определитель k-го порядка, получаемый из матрицы А в результате вычеркивания некоторых её строк и столбцов.

Пример:

1. Для матрицы А её единственный минор 3-го порядка – . Поэтому r(A)=3.

2. Для матрицы В существует (Получается из В удалением её последнего столбца); поэтому r(В)=4.

3. Для матрицы С её третья строка равна сумме первых двух (проверить), и поэтому для всякого её минора третьего порядка третья строка будет равна сумме первых двух, и поэтому он будет равен нулю (см. §1, 9-е свойство определителя третьего порядка).

Тем не менее, есть (получаемый из матрицы С удалением её третьей строки и третьего и четвертого столбцов), и поэтому r(С)=2.

4. Все строки матрицы D пропорциональны (вторая строка равна удвоенной первой, а третья – первой, взятой с противоположным знаком), и поэтому все миноры второго и третьего порядков содержат пропорциональные строки и равны нулю. Есть лишь (получается из матрицы D удалением второй и третьей строки, а также второго, третьего и четвертого столбцов), и поэтому r(D)=1.

В качестве задачи предложим читателю доказать, что имеет место следующая теорема 11.1:

r(A)=1 все строки (и столбцы) матрицы А пропорциональны и А≠0.

5. В матрице F=0 вообще нет ни одного ненулевого минора; её ранг равен нулю.

Инвариантность ранга при элементарных преобразованиях

Теорема 11.2: Ранг матрицы при элементарных преобразованиях не меняется.

Для её доказательства рассмотрим следующие леммы:

Лемма №1: Пусть r(A)=k, тогда все миноры (k+1)-го порядка , либо не существуют и (непосредственно следует из определения ранга).

Лемма №2: Если для любого минора, то r(A)≤k.

Доказательство:

Разлагая минор (k+2)-го порядка матрицы А по какой-либо его строке, мы получим, что он представляется как сумма произведений элементов этой строки на их алгебраические дополнения, каждое из которых, с точностью до знака, совпадает с соответствующим минором (k+1)-го порядка матрицы А, и поэтому равны нулю. Поэтому всякий .

Разлагая далее любой минор (k+3)-го порядка по некоторой его строке, получим, что он равен сумме произведений элементов его строки на их алгебраические дополнения, которые являются (с точностью до знака) минорами (k+2)-го порядка матрицы А, и поэтому равен нулю. Итак, все .

По аналогии получим, что все (если они существуют), и лемма №2 доказана.

Лемма №3: Если r(A)=k, то определитель, состоящий из (k+1)-й строки матрицы А, равен нулю (его получают из минора (k+1)-го порядка с использованием замены строк местами). /она легко следует из леммы №1/

Лемма №4: Любое элементарное преобразование не увеличивает ранга матрицы.

Доказательство:

Пусть r(A)=k, а матрица В получается из матрицы А в результате какого-либо одного из элементарных преобразований строк первого типа (см. §9; лемма для элементарного преобразования строк второго типа будет следовать из её справедливости для элементарных преобразований первого типа, ибо всякое элементарное преобразование строк второго типа можно представить в виде последовательного действия одного или трёх преобразований первого типа).

Рассмотрим каждое из элементарных преобразований строк первого типа последовательно:

1) Замена строк местами: тогда любой состоит из (k+1)-й строки матрицы А (взятых, возможно, в другом порядке), и поэтому, по лемме №3, он равен нулю.

2) Умножение строки на число (обозначение: – j-я строка матрицы А; – j-ю строку матрицы А умножаем на ).

Рассмотрим следующие случаи:

а) . Тогда в ничего не изменилось, и поэтому, по лемме №1, .

б) . Тогда . (см. лемму №1)

3) Сложение строк (обозначение: – j-я строка матрицы В получается сложением (j)-й и (i)-й строк матрицы А). Рассмотрим следующие случаи:

а) , тогда в ничего не изменилось, и поэтому, по лемме №1, .

б) . Последние 2 слагаемые являются минорами (k+1)-го порядка матрицы А, которые равны нулю по лемме №1 (во втором слагаемом может быть изменен порядок строк). Поэтому и в этом случае их сумма .

в) , ибо первое слагаемое в предпоследней сумме является минором (k+1)-го порядка матрицы А, который равен нулю по лемме №1 (r(A)= k), а второй определитель обращается в ноль, так как он имеет одинаковые строки (на месте его i-й и j-й строк находится одна и та же i-я строка матрицы А).

Мы показали, что для любого из элементарных преобразований любой , и поэтому, по лемме №2, r(B)≤k=r(A). (11.1)

Из леммы №4 легко следует

Лемма №5: Пусть из матрицы В получается матрица А конечным числом элементарных преобразований. Тогда r(B)≤r(A) (11.2)

Проведя обратные элементарные преобразования (от В к А), из леммы №5 получим, что r(А)≤r(В) (11.3)

Сопоставляя неравенства (11.2) и (11.3), имеем, что r(А)=r(В), и теорема 11.2 (об инвариантности ранга матрицы) доказана.

Вопрос