Доказательство необходимости теоремы Кронеккер-Капелли

(её достаточность будет доказана в конце §19)

Отметим, что r(B)≥r(A), ибо если r(B)=k, то всякий . Но всякий является минором матрицы В (ибо матрица А является частью матрицы В), и поэтому . Поэтому по лемме №2 из §11 r(А)≤k=r(В).

Итак, пусть r(А) r(В)=k (тогда r(А)<r(B)). Приведя матрицу В к ступенчатому виду, получим: (под будем обозначать преобразованные элементы матрицы А, а под – преобразованные элементы последнего столбца матрицы В).

При этом (k+1)-я строка матрицы В соответствует уравнению: , которое противоречиво, и, следовательно, система (13.1) несовместна.

Итак, если r(A) r(B), то, система (13.1) несовместна, и поэтому для совместности системы линейных уравнений (13.1) должно быть выполнено r(А)=r(В).

Необходимость теоремы Кронеккер-Капелли доказана.

Вопрос