Б) Умножение матриц

Отметим, что число столбцов первого множителя А должно совпадать с числом строк второго множителя В (иначе произведение А В не определено).

Тогда произведением матриц А и В является матрица С, число строк которой совпадает с числом строк первого множителя (матрицы А ), а число столбцов ­– с числом столбцов второго множителя (матрицы В )

С =А В; С: m n; , и элементы которой определяются по формуле:

Свойства умн. Матриц

1. , т.е. произведение матриц не коммутативно.

2. Произведение матриц ассоциативно: .

3. (правая дистрибутивность)

4. определитель произведения матриц равен произведению определителей: det(A B)=detA detB.

5. транспонирование произведения матриц равно произведению транспонированных матриц, взятых в обратном порядке, т.е.

6. (левая дистрибутивность)

7. ; (Е - единичная матрица)

8.

Вопрос

Пусть А= ­– квадратная матрица.

Определение: матрица называется обратной к матрице А, если выполнено равенство . Отметим, что вырожденная матрица обратной иметь не может, ибо если detA=0, (противоречие).

Всякая невырожденная матрица А= имеет обратную матрицу = = , элементы которой находят по формуле: (5.20)

, а – её алгебраические дополнения.

Свойства обратной матрицы:

для любых двух обратимых матриц A и B.

где * ^T обозначает транспонированную матрицу. для любого коэффициента .

Алгоритм нахождения обратной матрицы

чтобы найти обратную матрицу , нужно:

1) найти детерминант матрицы А; если он равен нулю, то обратной нет. Если detA 0, то находим

2) матрицу из алгебраических дополнений;

3) транспонируем эту матрицу ;

4) всякий элемент матрицы делим на detA, получим матрицу .