Особенности расчёта надёжности резервированных восстанавливаемых систем

Рассмотрим восстанавливаемую резервированную систему, в которой происходит восстановление отказавших элементов за счёт имеющегося резерва. Пусть в системе имеется: “ n ” – основных рабочих объектов,

m+l+S – резервных изделий, причём

m – число изделий в нагруженном резерве;

l - число изделий в облегчённом резерве;

S - число изделий в ненагруженном резерве;

z – объём ремонтного устройства.

Все рабочие изделия как и остальные одинаковы между собой по надёжности.

Поток отказов и восстановлений подчиняется экспоненциальному закону: λ=const, u=const.

Работа рассматриваемой системы иллюстрируется рис. 10.2:

Рис. 10.2

Каждое отказавшее рабочее изделие мгновенно поступает в ремонтное устройство и мгновенно замещается изделием из нагруженного резерва.

Каждое вышедшее из строя или перешедшее в основное рабочее состояние изделие из нагруженного резерва мгновенно замещается изделием из облегчённого резерва. Каждое отказавшее или перешедшее в нагруженный резерв изделие из облегчённого резерва, каждое восстановленное изделие поступает в ненагруженный резерв. Всего в системе имеется N=n+m+l+S изделий и она полностью выполняет свои функции, если число исправленных не меньше “ n ”. Система выходит из строя, если откажут m+l+S+1 изделий. (j=m+l+S). Используется метод, основанный на исследовании схемы состояний [2,4,5,15,18].

Под состоянием системы будем понимать число отказавших изделий: “ K ”

Граф состояний представлен на рис. 10.3:

Рис. 10.3

Параметры процесса отказов и восстановлений зависят от номера состояния “K”: λ_K, u_K

Если . (10.12)

Если , .

Описанная схема работы системы охвачивает большое число частных случаев. Мы рассмотрим два примера из множества возможных вариантов и определим финальные вероятности состояний. Исследование характеристик надёжности формируемых под воздействием потоков отказов и восстановлений, позволяет сделать вывод о том, что при существующих в практике соотношениях λ и u наступает сравнительно быстро период установившегося режима, т.е. можно положить Тогда система дифференциальных уравнений Колмогорова трансформируется в систему алгебраических уравнений.

Если обозначить: П_К=-λ_КP_К+u_К+1P_K+1, то для стационарного режима получим следующую систему:

. (10.13)

Из (10.13) Находим: П_К=0; k=0,1…j

Вероятность P₀ находим из условия нормировки P_j+1=К_П – коэффициент простоя, 1-P_j+1=Kr – коэффициент готовности.

Частные случаи:

1. Полное число изделий в системе N. Из них “ N-m ” находятся в рабочем состоянии, а остальные составляют нагруженный резерв. Ремонтное устройство имеет объём r≥N (неограниченное восстановление).

Тогда λ_K=(N-K)λ; u_K=Ku, где как было указано выше, “ K ” – число отказавших изделий (номер состояния).

Стационарная вероятность состояния “ K ” определяется по формуле:

2. Система имеет “ n ” рабочих элементов и неограниченный ненагруженный резерв. Объем ремонтного устройства также неограничен. Для этого случая: λ_K=n λ; u_K=Ku;

Стационарная вероятность состояния “ K ” определяется по формуле: