Метод Монте-Карло

Возникновение метода относится к 1949 г. и связано с именами американских ученых Д. Неймана и С. Улама.

Метод основан на использовании связи между вероятностными характеристиками различных случайных процессов и величинами, являющимися решениями задач математического анализа. Сказанное можно проиллюстрировать следующим образом.

Известно, что изучение случайного процесса считается исчерпывающим, если определение характеристик этого процесса сведено к решению аналитической задачи. Существенным для понимания метода Монте-Карло является то, что эту классическую ситуацию можно обратить. А именно, вместо решения аналитической задачи можно моделировать случайный процесс и использовать статистические оценки (вероятности, математические ожидания) для приближенного решения данной аналитической задачи.

Оказывается, что очень часто вместо вычисления ряда сложных аналитических выражений можно экспериментально определить соответствующие статистические оценки. В качестве примера реальной вычислительной задачи, рассмотрим задачу вычисления интеграла

Будем считать, что и . Ограничение на функцию , изображенную на рис. 1, несущественно, так как можно использовать масштабирование. Необходимо найти площадь области , ограниченной кривой осью и ординатами .

Пусть в квадрат случайно вбрасывается точка, координаты которой независимо и равномерно распределены в интервале . Какова вероятность того, что точка попадает в область под кривой? Очевидно, что вероятность этого события численно равна площади . Для первой точки генерируем пару величин (координат) и проверяем условие

(1)

Если условие (1) выполняется, то выбранная случайная точка с координатами попала в область под кривой. Далее берется еще пара случайных величин , и для всех этих пар проверяется условие (1). Затем число пар , для которых выполнилось условие (1), делится на число всех взятых пар . Если число достаточно велико, то в силу закона больших чисел получаем величину близкую к вероятности попадания точки в область . Величина является, следовательно, приближенным значением искомого интеграла.

Метод Монте-Карло обладает следующими особенностями:

- является приближенным, точность повышается с увеличением числа реализаций;

- обладает малой связностью, что сокращает объем данных для хранения в памяти, особенно для многомерных задач;

- устойчив по отношению к случайным сбоям, так как одиночная ошибка мало сказывается на окончательном результате;

- результаты, получаемые этим методом, также как и оценки их точности носят вероятностный характер;

- не существует общей теории перехода от конкретной задачи к вероятностной схеме, позволяющей применить метод.

Метод Монте-Карло положен в основу статистического моделирования. При статистическом моделировании для получения достоверных вероятностных характеристик процессов функционирования системы требуется их многократное воспроизведение с различными конкретными значениями случайных факторов и статистической обработкой результатов измерений. При этом возникает необходимость в определении случайных событий, величин и последовательностей по заданным статистическим характеристикам. В основе их определения лежит использование последовательности чисел, равномерно распределенных в интервале . Программы, формирующие такие последовательности, называют датчиками или генераторами случайных чисел.