Потоки заявок

Простейший поток. При аналитическом моделировании характеристики системы вычисляются наиболее просто для потока заявок, называемого простейшим. Простейший поток – это поток заявок, который обладает следующими свойствами: 1) стационарность; 2) отсутствие последействия; 3) ординарность. Стационарность означает постоянство вероятности того, что в течение определенного временного интервала поступит одинаковое количество заявок вне зависимости от расположения интервала на оси времени. Отсутствие последействия заключается в том, что поступившие заявки не оказывают влияния на будущий поток заявок, т.е. заявки поступают в систему независимо друг от друга. Ординарность – это значит, что в каждый момент времени в систему поступает не более одной заявки. Любой поток, обладающий этими свойствами, является простейшим.

У простейшего потока интервалы времени между двумя последовательными заявками – независимые случайные величины с функцией распределения:

(3.1)

Такое распределение называется экспоненциальным (показательным) и имеет плотность

(3.2)

математическое ожидание длины интервала

(3.3)

дисперсию

(3.4)

и среднеквадратическое отклонение, равное математическому ожиданию. Экспоненциальное распределение характеризуется одним количественным параметром – интенсивностью.

Простейшие потоки заявок обладают следующими особенностями:

1. Сумма независимых, ординарных, стационарных потоков с интенсивностями сходятся к простейшему потоку с интенсивностью

(3.5)

при условии, что складываемые потоки оказывают примерно одинаковое малое влияние на суммарный поток.

2. Поток заявок, полученный в результате случайного разрежения исходного стационарного ординарного потока, имеющего интенсивность , когда каждая заявка исключается из потока с определенной вероятностью независимо от того, исключены другие заявки или нет, образует простейший поток с интенсивностью .

3. Интервал времени между произвольным моментом времени и моментом поступления очередной заявки имеет экспоненциальное распределение с таким же математическим ожиданием , что и интервал времени между двумя последовательными заявками.

4. Простейший поток создает тяжелый режим функционирования системы, поскольку, во-первых, большое число (63%) промежутков времени между заявками имеет длину меньшую, чем ее математическое ожидание , и, во-вторых, коэффициент вариации, равный отношению среднеквадратического отклонения к математическому ожиданию: и характеризующий степень нерегулярности потока, равен единице, в то время как у детерминированного потока коэффициент вариации , а для большинства законов распределения .

Простейший поток имеет широкое распространение не только из-за аналитической простоты связанной с ним теории, но и потому, что большое количество реально наблюдаемых потоков статистически не отличимы от простейшего. Этот эмпирический факт подтвержден рядом математических моделей, в которых при довольно общих условиях доказывается, что поток близок к простейшему.

Пуассоновский поток. Пуассоновским потоком называется ординарный поток заявок с отсутствием последействия, у которого число заявок, поступивших в систему за промежуток времени , распределено по закону Пуассона:

(3.6)

где - вероятность того, что за время в систему поступит точно заявок; - интенсивность потока заявок.

Математическое ожидание и дисперсия распределения Пуассона равны .

Следует подчеркнуть, что распределение Пуассона дискретно. Стационарный пуассоновский поток является простейшим. Если нестационарный поток, интенсивность которого представляет собой функцию времени , описывается законом распределения Пуассона, то такой поток называется пуассоновским, но не простейшим. В распределении Пуассона длительности интервалов между двумя последовательными заявками – это случайные величины с экспоненциальным распределением.