.
Тема3 Исследование и решение систем линейных уравнений методом Гаусса(4 часа)
№
п/п
| Умение
| Алгоритм
|
| Решение систем линей-ных уравнений мето-дом Гаусса:
а) нахождение общего решения однородной системы в коор-динатной и векторной форме
| 1.Выписать матрицу коэффициентов при неизвестных и привести ее к ступенчатому виду (прямой ход метода Гаусса).
2.Выписать ступенчатую систему уравнений и определить ранг .
3.Сравнить с числом переменных
и определить, сколько решений имеет система: если , то система имеет множество решений, следует перейти к п. 4 для отыскания общего решения; если , то система имеет един-ственное решение - тривиальное - .
4. Определить зависимые и свободные переменные. Переменные, для которых угловые элементы служат коэффициентами, считать зависимыми, остальные переменных - свободными
|
|
б) исследование на сов-местность неоднород-ной системы , нахождение ее общего или единствен-ного решения
| 5.Выразить зависимые переменные через свободные из ступен-чатой системы уравнений (обратный ход метода Гаусса).
6.Выписать общее решение в координатной форме. Общее реше-ние определяется формулами, полученными в п. 5. Эти выражения описывают все множество решений однородной системы: давая свободным переменным (параметрам) любые значения и вычисляя несвободные переменные, получим все решения системы.
7.Выписать общее решение в векторной форме. Используя общее решение в координатной форме, будем придавать свободным пере-менным последовательно значения, соответствующие линейно независимым векторам
.
По формулам п. 5 вычислим соответствующие значения . Получим фундаментальную систему решений (ФСР) - базис в про-странстве решений однородной системы . Общее реше-ние в векторной форме имеет вид , где – произвольные постоянные.
1.Записать расширенную матрицу системы , приписав к основной матрице вектор свободных членов: .
2.Привести матрицу к ступенчатому виду и определить и .
3.Исследовать систему на совместность. Если , то система несовместна (не имеет решения). Если где – число переменных, то решение един-ственное, перейти к п. 7. Если перейти к п. 4.
4.Выписать ступенчатую систему уравнений, соответствующую ступенчатой форме матрицы .
5.Определить зависимые и свободные переменные. Переменные, "соответствующие" угловым элементам, - зависимые, остальные - свободные. Выразить зависимые переменные через свободные (обратный ход метода Гаусса).
6.Найти общее решение в координатной форме. Полученные в п. 5 выражения зависимых переменных через свободные и вектор пра-вых частей определяют параметрическую запись общего решения в координатной форме. Чтобы получить запись общего решения в векторном виде, следует перейти к п. 8.
7.Единственное решение получаем обратным ходом методу Гаусса, используя ступенчатую систему п. 4: из последнего уравнения находим , подставляем в предпоследнее уравнение, вычис-ляем и т.д., пока не найдем вектор-решение .
8.Записать общее решение неоднородной системы в векторной форме. Используя общее решение в координатной форме, найдем некоторое частное решение неоднородной системы . Выпишем общее решение соответствующей однородной системы в координатном виде. Для этого в формулах п. 5 следует свободные члены (константы) считать нулевыми. Найдем ФСР однородной системы и общее решение однородной системы . Общее решение неоднородной системы имеет вид
|