Аксіоми ймовірності та її властивості

Означення 1. Ймовірністю називається числова функція P(A), визначена на множині всіх подій, пов’язаних з даним експериментом, яка задовольняє таким аксіомам:

1. P(A) ³ 0;

2. P(W) = 1;

3. P(A₁ ÈA₂) = P(A₁) + P(A₂), якщо A₁ Ç A₂ =Æ.

Аксіома 3 допускає узагальнення на випадок суми скінченої (або зліченої) кількості попарно несумісних подій:

3¢. P(A₁ÈA₂ÈA₃È...ÈA_n) = P(A₁)+P(A₂)+P(A₃)+...+P(A_n). (1)

Із аксіом 1,2,3 випливають такі властивості ймовірностей:

1) P()=1–P(A); 2) 0£P(A) £ 1;

3) Теорема додавання ймовірностей. Для будь-яких подій A та B справедливе співвідношення

P(AÈB)=P(A)+P(B) – P(AÇB). (2)

Доведення. Подамо події AÈB та B у вигляді суми попарно несумісних подій (мал.1.6) B=AÇB + , A ÈB=A+ . Тоді на підставі аксіоми 3 одержимо P(AÈB)=P(A)+ +P() і P(B)=P(AÇB)+P(). Підставляючи вираз P() із другого співвідношення в перше, приходимо до рівності (2).