Теорія ймовірностей та елементи

МАТЕМАТИЧНОЇ СТАТИСТИКИ “

Розділ “ТЕОРІЯ ЙМОВІРНОСТЕЙ”.

Харків ХДТУБА 1999

ЗМІСТ

Передмова.................................................................................................... 3

1. Основні поняття теорії ймовірностей..................................................... 4

1.1. Випадкові події та їх алгебра 4

1.1.1. Первісні поняття. Подія 4

1.1.2. Алгебра випадкових подій. 7

1.2. Аксіоми та властивості ймовірності 9

1.2.1. Частота та ймовірність випадкової події 9

1.2.2. Аксіоми ймовірності та її властивості. 10

1.2.3. Принцип практичної вірогідності 11

1.3. Теорема множення та її наслідки 12

1.3.1. Умовна ймовірність 12

1.3.2. Формула повної ймовірності 15

1.3.3. Теорема гіпотез (формули Бейєса) 18

1.4. Випробування із скінченною кількістю наслідків 20

1.4.1. Класичне означення ймовірності 20

1.4.2. Комбінаторні методи підрахунку кількості наслідків 21

1.5. Повторні випробування 26

1.5.1. Схема Я.Бернуллі. Узагальнення А.Маркова 26

1.5.2. Асимптотичні формули для схеми Бернуллі. 29

2. Випадкові величини.............................................................................. 32

2.1. Одновимірні випадкові величини 32

2.1.1. Випадкова величина та її функція розподілу 32

2.1.2. Дискретні випадкові величини 33

2.1.3. Неперервні випадкові величини 35

2.1.4. Перетворення розподілів 41

2.2. Випадкові вектори 43

2.2.1. Функція розподілу випадкового вектора 43

2.2.2. Дискретний випадковий вектор 44

2.2.3. Неперервний випадковий вектор 45

2.2.4. Найважливіші види двовимірних розподілів. 48

2.2.5. Закон розподілу суми випадкових величин 54

2.2.6. Ентропія і інформація 56

3. Числові характеристики випадкових величин..................................... 59

3.1. Математичне сподівання та його властивості 59

3.1.1. Стійкість середнього арифметичного 59

3.1.2. Математичне сподівання випадкової величини 59

3.1.3. Математичне сподівання функції випадкової величини 61

3.1.4. Математичне сподівання функції випадкового вектора 62

3.1.5. Кореляційний момент випадкових величин 64

3.2. Дисперсія випадкової величини 65

3.2.1. Дисперсія випадкової величини та її властивості 65

3.2.2. Дисперсія суми випадкових величин 69

3.2.3. Нерівність П.Чебишева 72

3.3. Кореляція 74

3.3.1. Коефіцієнт кореляції та кореляційна матриця 74

3.3.2. Регресія 77

3.4. Прикладні задачі 79

3.4.1. Теорія масового обслуговування. 79

3.4.2. Найпростіші задачі теорії надійності 85

Додатки...................................................................................................... 88

Таблиця 1. 88

Таблиця 2. 89

Таблиця 3. 90

Таблиця 4. 91

Таблиця 5. 92

Література................................................................................................. 94