V. Електростатичне поле нескінченно довгого рівномірно зарядженого циліндра

Розглянемо циліндр радіуса R і дов­жиною L, на якому знаходиться заряд q, який рівномірно розподілений на його поверхні вздовж всієї довжини L (рис. 118). Лінійна густина заряду . Якщо відстань r від осі циліндра до точки M значно менша за довжину L зарядженого циліндра , то циліндр з достатньою точністю можна вважати нескінченно довгим.

Виділимо довільну ділянку циліндра довжиною l і охопимо її допоміжною поверхнею у вигляді циліндра радіуса r. Ця поверхня охоплює заряд , який до­рівнює: .

Оскільки лінії вектора напруженості нормальні до поверхні зарядженого тіла в кожній його точці, то потік пронизує лише бічну поверхню допоміжного циліндра.

Отже, . Звідси .

Поле циліндра є неоднорідним. Різниця потенціалів між двома точками поля, що лежать на відстані і від осі заряд­женого провідника, дорівнює .

6. Робота сил електричного поля. Потенціал. Різниця потенціалів.

Розглянемо тепер електричне поле, яке створюється нерухомим точковим зарядом q у вакуумі (рис. 101).

Нехай в електростатичному полі заряду q вздовж довільної траєкторії переміщується точковий заряд під дією сили з точки 1, що перебуває на відстані від джерела поля в точку 2 на відстані від нього. Робота сили на елементарному переміщенні дорівнює:

.

Робота при переміщенні заряду з точки 1 в точку 2 дорівнює:

.

Ця робота не залежить від траєкторії переміщення, а визначається лише початковим (1) і кінцевим (2) положенням за­ряду. Отже, електростатичне поле точкового заряду є потенціальним, а елек­тростатичні сили – консервативними.

Оскільки робота консервативних сил виконується за рахунок зменшення потенціальної енергії, то

.

Отже, потенціальна енергія заряду в полі заряду q у вакуумі дорівнює:

.

Величина є однакова для всіх зарядів в даній точці поля і називається потенціалом поля.

Потенціалом будь-якої точки електростатичного поля називають фі­зичну величину, яка числово дорівнює потенціальній енергії одиничного позитивного заряду, поміщеного в цю точку.

Одиниця потенціалу – вольт. 1B - це потенціал такої точки поля, в якій заряд величиною 1 Кл володіє потенціальною енергією в 1 Дж.

Потенціал поля, створеного одним точковим зарядом q у вакуумі, дорівнює:

.

Роботу, яку виконують електростатичні сили при переміщенні заряду від точки 1 до точки 2 електростатичного поля, можна записати так:

,

де та - потенціали електростатичного поля в точках 1 та 2.

Якщо з точки з потенціалом заряд віддаляється в нескінченність , то робота сили поля буде дорівнювати . Звідси

.

Потенціал даної точки електростатичного поля – це така фізична величина, яка числово дорівнює роботі, яку виконують зовнішні сили (проти сил елек­тростатичного поля) при переміщенні одиничного позитивного заряду з нескінченності в дану точку поля.

Потенціал поля, яке створюється системою зарядів, дорівнює алгебраїчній сумі потенціалів, створених кожним із зарядів зокрема:

.

7.Провідники в електричному полі. Електрична ємність.

Характерною особливістю провідників є наявність у них вільних носіїв заряду. В металах це електрони провідності (вільні електрони). Якщо провідник поміс­тити в зовнішнє електростатичне поле , то на кожен вільний заряд діє сила (рис. 135). Під дією сили відбувається переміщення вільних носіїв заряду і внаслідок цього електричні заряди перерозподіляються: на одній грані провідника буде надлишок вільних електронів, які заряджають її негативно, на іншій виникає їх нестача, і ця грань заряджається позитивно.

Явище перерозподілу вільних носіїв заряду у провіднику під дією зовнішнього електричного поля, внаслідок чого виникає електризація, називається електростатичною індукцією або електризацією через вплив.

Внутрішнє поле дорівнює за величиною і протилежне за напрямком зовнішньому. Результуюча напруженість поля всередині провідника дорівнює нулю.

Якщо провіднику надати деякий заряд q, то нескомпенсовані заряди розміщуються лише на поверхні провідника. Для пояснення цього факту проведемо всередині провідника довільну замкнену поверхню S, яка обмежує деякий внутріш­ній об’єм провідника. За теоремою Острог­радського-Гаусса сумарний заряд цього об’єму дорівнює:

,

оскільки у всіх точках всередині поверхні напруженість поля і, відповідно, D=0.

Знайдемо взаємозв’язок між напруженістю Е поля поблизу поверхні зарядженого провідника і поверхневою густиною зарядів на її поверхні. :

.

Звідси

Отже, напруженість електричного поля поблизу поверхні провідника довільної форми дорівнює

,

де - відносна діелектрична проникність середовища, в якому знаходиться провідник.

Якщо надати відокремленому провіднику, який знаходиться в однорідному, ізотропному середовищі з відносною діелектричною проникністю ε деякий заряд q, то цей заряд розподілиться на поверхні провідника з різною поверхневою густиною . Характер розподілу зарядів залежить лише від форми провідника. Кожна нова порція зарядів, які надають провіднику, розподіляються на його поверхні подіб­но до попередньої. Тому поверхнева густина зарядів в кожній точці поверхні провідника пропорційна його заряду q:

де - функція координат точки, що залежить від форми і розмірів провідника.

Використовуючи принцип суперпозиції електростатичних полів, знайдемо потенціал зарядженого відокремленого провідника. Для цього поділимо поверхню S провідника на нескінченно малі елементи dS, які мають точковий заряд . Інтегруючи по всій замкнутій поверхні S провідника вираз для потенціалу точкового заряду, отримуємо

.

де r – відстань від малого елемента dS провідника до якої-небудь фіксованої точки на поверхні провідника, в якій визначається потенціал φ. Вибір цієї точки довільний, оскільки поверхня провідника еквіпотенціальна. Інтеграл залежить лише від форми і розмірів провідника і тому потенціал φ відокремленого провідника прямо пропорційний його заряду q, тобто

, де - електрична ємність.

Електроємність відокремленого провідника числово дорівнює електричному заряду, який треба надати цьому провіднику, щоб потенціал змінився на одиницю.

Електроємність відокремленого провідника залежить від його форми і розмірів, причому геометрично подібні про­відники мають ємності, прямо пропорційні до їхніх лінійних розмірів.

Електроємність прямо пропорційна до діелектричної проникності середовища.

Електроємність не залежить ні від матеріалу провідника, ні від його агрегатного стану, ні від форми і розмірів можливих порожнин всередині нього. Це пов’яза­но з тим, що надлишкові заряди розподілені тільки на зовнішній поверхні провідника. Електроємність не залежить також від заряду провідника та його потенціалу.

Одиниця ємності – фарада:

1 фарада – це ємність такого провідника, потенціал якого змінюється на 1 В при наданні йому заряду в 1 Кл.

Оскільки потенціал відокремленої кулі радіусом R, яка має заряд q дорівнює ,то ємність кулі .1 фарада – це ємність провідника у формі кулі, радіус якої ; .

8.Конденсатор. Батареї конденсаторів.

Для того, щоб провідник мав велику ємність, він повинен мати дуже великі розміри. На практиці, однак, необхідні пристрої, які мають здатність при малих розмірах і невеликих відносно навколишніх тіл потенціалах нагромаджувати значні за величиною заряди. Ці пристрої – конденсатори.

Конденсатор складається з двох провідників, які розділені діелектриком. Щоби на ємність конденсатора не впливали навколишні тіла, провідникам надають таку форму, щоб поле, яке створюється зарядами, було зосереджено у вузькому проміжку між обкладками конденсатора.

Оскільки поле зосереджене всередині конденсатора, то лінії напруженості починаються на одній обкладці і закінчуються на іншій і тому вільні заряди, що виникають на різних обкладках, є однаковими за модулем різнойменними зарядами.

Ємність конденсатора – фізична величина, що числово дорівнює відношенню величини заряду q, нагромадженого у конденсаторі, до різниці потенціалів між його обкладками:

.

Залежно від форми обкладок конденсатори поділяються на плоскі, циліндричні і сферичні.

:

де - відносна діелектрична проникність середовища, що заповнює простір між пластинами.

Отже, ємність плоского конденсатора:

.

Ємність конденсатора, який має шаруватий діелектрик (рис. 140), визначають за формулою:

.

Циліндричний конденсатор утворюють дві металеві трубки різних радіусів, вставлені одна в одну аксіально, тобто так, що їх осі збігаються, і розділені шаром діелектрика (рис. 141).

.

Тоді ємність циліндричного конденсатора .Тоді електроємність сферичного конденсатора