Глава I. Балансовые модели

балансовые модели. Модель Леонтьева многоотраслевой экономики. Продуктивные модели

В экономике существует баланс между отдельными отраслями. Рассмотрим простой вариант модели межотраслевого баланса – модель «затраты-выпуск».

Пусть имеется n различных отраслей, каждая из которых производит свой продукт и нуждается в продукции других отраслей (производственное потребление). Введем следующие обозначения:

‑ общий объем продукции отрасли i за плановый год ‑ так называемый валовой выпуск отрасли i;

‑ объем продукции отрасли i, расходуемый отраслью j в процессе производства;

‑ объем продукции отрасли i, предназначенный к потреблению в непроизводственной сфере ‑ объем конечного потребления. В него входят создаваемые в хозяйстве запасы, личное потребление граждан, обеспечение общественных потребностей (просвещение, наука, здравоохранение, развитие инфраструктуры и т. д.), поставки на экспорт.

Указанные величины сведем в таблицу 1.1.

Таблица 1.1

Производственное потребление	Конечное потребление	Валовой выпуск

Балансовый характер этой таблицы выражается в том, что при любом выполняется соотношение

, (1.1)

означающее, что валовойвыпуск расходуется на производственное потребление, равное , и непроизводственное потребление, равное . Соотношения (1.1) называют соотношениями баланса.

Единицы измерения всех указанных величин могут быть или натуральными (кубометры, тонны, штуки и т. п.), или стоимостными. В зависимости от этого различают натуральный и стоимостной межотраслевой балансы. В дальнейшем будем иметь в виду стоимостной баланс.

В. Леонтьев обратил внимание на важное обстоятельство: величины остаются постоянными в течение ряда лет, что объясняется примерным постоянством используемой технологии производства.

Сделаем следующее допущение: для выпуска любого объема продукции отрасли j необходимо затратить продукцию отрасли i в количестве , т. е. материальные издержки пропорциональны объему производимой продукции:

. (1.2)

Коэффициенты называют коэффициентами прямых материальных затрат или коэффициентами материалоемкости. Они показывают сколько необходимо единиц продукции отрасли i для производства единицы продукции отрасли j, если учитывать только прямые затраты.

Подставив (1.2) в балансовое соотношения (1.1), получим

или, в матричной записи,

, (1.3)

где

Вектор называется вектором валового выпуска, вектор ‑ вектором конечного потребления, а матрица А ‑ матрицей прямых затрат. Соотношение (1.3) называется уравнением линейного межотраслевого баланса. Вместе с изложенной интерпретацией матрицы А и векторов и это соотношение называют также моделью Леонтьева.

Уравнения межотраслевого баланса можно использовать для плановых расчетов:

- задавая для каждой отрасли i валовой выпуск продукции можно определить объемы конечного потребления каждой отрасли :

,

где Е – единичная матрица;

- задавая величины конечного потребления каждой отрасли можно определить величины валового выпуска продукции :

,

где – матрица, обратная к матрице , ее элементы называют коэффициентами полных материальных затрат.

Отметим особенности системы (1.3): все компоненты матрицы А, а также векторов и неотрицательны (это вытекает из экономического смысла А, и ). Для краткости будем записывать это так: .

Таким образом, плановые расчеты по модели Леонтьева можно выполнять при соблюдении следующего условия продуктивности:

матрица называется продуктивной, если для любого вектора существует решение уравнения (1.3).

В этом случае и модель Леонтьева, определяемая матрицей А, тоже называется продуктивной.

Сформулируем критерии продуктивности матрицы .

Критерий I. Матрица продуктивна тогда и только тогда, когда матрица существует и неотрицательна.

Критерий II. Матрица продуктивна тогда и только тогда, когда имеет место разложение матрицы в матричный ряд

. (1.4)

В соотношении (1.4) матрицы называются матрицами коэффициентов косвенных затрат 2-го, 3-го и т. д. порядков. Их сумма образует матрицу коэффициентов косвенных затрат

. (1.5)

Суть косвенных затрат поясним на примере производства двигателей. На их изготовление в виде прямых затрат расходуется сталь, чугун и т. д. Но для производства стали также нужен чугун. Следовательно, производство двигателей включает как прямые, так и косвенные затраты чугуна.

Таким образом, из соотношений (1.4) и (1.5) имеем

, (1.6)

т. е. матрица коэффициентов полных материальных затрат включает в себя матрицы коэффициентов прямых и косвенных затрат.

Рассмотрим примеры.

Пример 1. Исследовать на продуктивность матрицу

Решение. Сначала найдем матрицу :

Затем найдем . С этой целью по известным из линейной алгебры правилам вычислим определитель

алгебраические дополнения для элементов матрицы

; ;

; ;

; ;

; ;

.

Тогда

.

Полученная матрица неотрицательна и по Критерию I исходная матрица А продуктивная.

Пример 2. Для матрицы А коэффициентов прямых затрат из примера 1 и вектора конечного потребления

найти: а) вектор валового выпуска; б) матрицу косвенных затрат; в) изменение вектора валового выпуска при увеличении вектора конечного потребления на величину

Решение.

а) Вектор валового выпуска вычислим по формуле

.

Имеем

б) Матрицу косвенных затрат В найдем из соотношения (1.6):

в) .

Таким образом, при увеличении вектора конечного потребления на вектор валового выпуска увеличится на .

Балансовая модель Леонтьева-Форда

Рассмотрим математическую модель Леонтьева-Форда рационального использования природных ресурсов в процессе промышленного производства. В ее основу положена модель межотраслевого баланса из п. 1 с учетом затрат на ликвидацию загрязнений окружающей среды. Модель описывает распределение материальных потоков, поступающих в экономико-экологическую систему, по разным видам деятельности. Все, что поступает в систему в виде сырья и материалов, либо преобразуется в готовые изделия, либо идет в отходы производства. Условная схема материальных потоков представлена на рис. 2.1.

Рис. 2.1

На этой схеме изображены основные входные потоки: вода, заготовки и материалы, топливо и выходные потоки: сточные воды, твердые отходы, атмосферные загрязнители.

Модель Леонтьева-Форда в матрично-векторной форме записывают следующим образом:

, (2.1)

где – вектор валовых выпусков продукции размерности n;

– вектор объемов загрязнений, подлежащих ликвидации, размерности ;

– вектор конечной продукции размерности n;

– вектор объемов загрязнений, которые в настоящее время не могут быть ликвидированы, размерности ;

– матрица прямых затрат i -го ресурса для производства единицы продукции j -ой отрасли;

– матрица прямых затрат i -го продукта на уничтожение единицы загрязнения вида l;

– матрица коэффициентов, характеризующих количество поступающих в окружающую среду отходов по каждому виду загрязнителей k в расчете на единицу валового выпуска продукции j каждой из отраслей (матрица производственных загрязнений);

– матрица коэффициентов выбора загрязнений k -го вида при уничтожении единицы загрязнения вида l, учитывающая вторичный эффект загрязнений (матрица вторичных загрязнений).

В отличие от балансовой модели (), в которой все величины выражены в стоимостной форме, здесь величины измеряются в натуральных единицах (т/сут).

Запишем модель (2.1) в виде

(2.2)

Посредством модели Леонтьева-Форда определяются валовые выпуски продукции отраслей с учетом затрат на ликвидацию загрязнений при условии, что объемы отходов по каждому виду загрязнителей пропорциональны валовым выпускам продукции отраслей, а затраты на ликвидацию загрязнений пропорциональны объемам загрязнений, подлежащим ликвидации.

В системе уравнений (2.2) неизвестными векторами являются вектор валовых выпусков продукции отраслей и вектор подлежащих ликвидации объемов загрязнений . Вектор конечных выпусков продукции отраслей и вектор объемов загрязнений, которые в настоящее время не могут быть ликвидированы, задаются.

Система уравнений (2.2) решается матричным способом. Для простоты изложения рассмотрим случай, когда D – нулевая матрица, т. е. пренебрегаем вторичными загрязнениями, связанными с деятельностью предприятия, ликвидирующего загрязнения.

Тогда система уравнений (2.2) примет вид:

(2.3)

Подставив второе уравнение системы в первое, получим

где Е – единичная матрица.

Примем обозначения для следующих матриц:

; ; ; ,

благодаря которым решение системы уравнений (2.3) запишем в виде:

(2.4)

Модель (2.2) описывает сложные хозяйственные взаимосвязи. Действительно, сокращение объемов неликвидируемых загрязнений приводит к росту объемов загрязнений, подлежащих ликвидации . В свою очередь, рост объемов вызовет рост расходов на ликвидацию загрязнений и, следовательно, приведет к росту валовых выпусков продукции отраслей , что вызовет увеличение объемов загрязнений .

Таким образом, использование модели Леонтьева-Форда позволяет получить информацию относительно отраслевой структуры затрат на охрану окружающей среды, влияния их на величину конечного или общего выпуска, изменения цен в зависимости от предлагаемого уровня загрязнения среды.

Пример 1. Задана матрица прямых затрат на производство продукции двумя предприятиями региона:

.

Производство продукции сопровождается загрязнением окружающей среды, которое количественно характеризуется матрицей производственных загрязнений:

.

Предприятия проводят мероприятия по уничтожению загрязнений, описываемые матрицей прямых затрат предприятий по уничтожению единицы загрязнения:

.

Определить валовой выпуск продукции предприятий и объем загрязнений, подлежащих ликвидации , если потребности региона в конечной продукции предприятий описывается вектором , а объем загрязнений, которые в настоящий момент не могут быть уничтожены, характеризуются вектором .

Решение.

Искомые величины найдем по формулам (2.4). Предварительно вычислим следующие матрицы:

;

;

;

;

По формулам (2.4) имеем:

Таким образом, объем выпуска первого предприятия 15258 т продукции, второго – 15605 т продукции. При этих объемах выпуска продукции объемы ликвидируемых загрязнений у первого предприятия – 6107 т, у второго – 5976 т.