В локальной системе координат

ФЕРМЕННЫЙ КОНЕЧНЫЙ ЭЛЕМЕНТ

Ферменный КЭ применяется для моделирования прямолинейных стержней конструкции, работающих на растяжение-сжатие (рис. 4.5). Обозначения: 1; 2 - локальные номера узлов КЭ; - локальная ось, - узловые перемещения КЭ в локальной системе координат. Будем считать, что в пределах КЭ погонная нагрузка , продольная жесткость .

Представим перемещение произвольной точки КЭ в виде линейной функции локальной координаты : . Постоянные определяются из условий: . Это дает систему уравнений , из которой следует: . Подставляя в выражение для , получаем

. (4.3.1)

Здесь . Функции распределения имеют вид: .

Перейдем к определению полной потенциальной энергии КЭ.

. (4.3.2)

Продольную силу можно связать с перемещением зависимостью

,

с учетом чего выражение (4.3.2) примет вид

.

Для элемента, находящегося в равновесии, справедливо вариационное уравнение Лагранжа

. (4.3.3)

Примем во внимание аппроксимацию (4.3.1): . Подставляя эти выражения в (4.3.3), получаем

.

Отсюда при следует матричное уравнение , где - соответственно матрица жесткости и вектор нагрузки КЭ. Получим окончательные выражения для вычисления и :

БАЛОЧНЫЙ КОНЕЧНЫЙ ЭЛЕМЕНТ

Балочный КЭ (рис. 4.6) применяется для моделирования стержней конструкции, находящихся в состоянии поперечного изгиба. Для воспроизведения такого состояния в качестве узловых перемещений КЭ принимаются прогибы и углы поворота его узлов. Будем считать, что в пределах КЭ погонная нагрузка , жесткость на изгиб и справедлива гипотеза прямых нормалей, согласно которой .

Представим прогиб в пределах элемента в виде: . Постоянные , определяются из условий:

что приводит к системе уравнений

Из этой системы следует:

Подставляя в выражение для , получаем

Здесь - функции распределения:

Полная потенциальная энергия балочного КЭ определяется выражением

.

Изгибающий момент в каждой точке элемента пропорционален кривизне . С учетом этого получаем

.

В состоянии равновесия конечного элемента . Необходимое условие этого записывается в виде вариационного уравнения Лагранжа

. (4.3.5)

Согласно (4.3.4) имеем: С учетом этого уравнение (4.3.5) принимает вид

.

Отсюда при следует матричное уравнение равновесия обобщенных внутренних (в левой части) и внешних (в правой части) узловых сил конечного элемента

,

где - соответственно матрица жесткости и вектор нагрузки данного элемента.

Получим выражения для вычисления матрицы и вектора :

После нахождения определенных интегралов окончательно имеем:

Положительные направления внешних узловых сил в векторе совпадают с положительными направлениями соответствующих узловых перемещений КЭ (рис. 4.6).

РАМНЫЙ КОНЕЧНЫЙ ЭЛЕМЕНТ

Рамный КЭ (рис. 4.7) применяется для моделирования стержней конструкции, находящихся в состоянии растяжения-сжатия и поперечного изгиба. Для воспроизведения такого состояния в качестве узловых перемещений рамного КЭ принимаются продольные перемещения прогибы и углы поворота (обобщенные перемещения) его узлов. Порядок следования данных перемещений определяется вектором . Считается, что в пределах элемента погонные нагрузки и жесткости постоянны по его длине.

От перемещений в поперечных сечениях элемента возникает только продольная сила , от , - только поперечная сила и изгибающий момент . Таким образом, состояния растяжения-сжатия и поперечного изгиба элемента являются независимыми. Это дает возможность сформировать матрицу жесткости рамного КЭ из коэффициентов жесткости рассмотренных ранее ферменного и балочного элементов (расположение этих коэффициентов соответствует порядку следования узловых перемещений в векторе , как показано сверху и справа от матрицы ):

.

Аналогично формируется вектор нагрузки рамного КЭ:

.

Положительные направления и порядок следования внешних узловых сил в векторе совпадают с положительными направлениями и порядком соответствующих узловых перемещений КЭ (рис. 4.7).

ТРЕУГОЛЬНЫЙ КОНЕЧНЫЙ ЭЛЕМЕНТ ПРИ ПЛОСКОМ НАПРЯЖЕННОМ

СОСТОЯНИИ

Треугольный КЭ при плоском напряженном состоянии (ПНС) (рис. 4.8) используется для моделирования пластин, нагруженных в их плоскости, а также безмоментных оболочек. Считается, что в пределах элемента поверхностные силы и толщина имеют постоянные значения.

Представим перемещение произвольной точки элемента в виде . Постоянные определяются из условий: . Это дает систему уравнений

Для решения данной системы используем определители:

Отсюда получаем

Здесь - площадь элемента (, если узлы 1, 2, 3 элемента следуют против хода часовой стрелки).

Подставляя в выражение для , получаем

Здесь - функции распределения.

В аналогичном виде (через те же функции ) можно представить перемещение : . Полученные выражения для перемещений и можно записать в виде одного матричного равенства:

, (4.3.6)

где

- соответственно матричная функция распределения и вектор узловых перемещений КЭ.

Перейдем к определению полной потенциальной энергии КЭ:

. (4.3.7)

Здесь - соответственно матрица-строка и матрица-столбец с компонентами деформированного и напряженного состояний в произвольной точке КЭ. Векторы и связаны физической зависимостью (обобщенным законом Гука)

, (4.3.8)

где - матрица упругих свойств материала, зависящая от типа материала и его напряженного состояния. Материал принимается изотропным, а напряженное состояние его, как отмечено выше, считается плоским. В этом случае

.

С учетом (4.3.8) и постоянства выражение (4.3.7) можно представить в виде

.

Деформации определяются через перемещения :

.

Оператор при плоском напряженном состоянии имеет вид

.

Для перехода от перемещений к узловым перемещениям конечного элемента воспользуемся аппроксимацией (4.3.6):

.

Таким образом, полная потенциальная энергия в конечном итоге представляется как функция узловых перемещений КЭ:

.

Отсюда получаем вариационное уравнение Лагранжа

,

из которого следует матричное уравнение равновесия внутренних и внешних узловых сил конечного элемента

,

где - соответственно матрица жесткости и вектор нагрузки данного элемента:

Определим матрицу :

Отсюда видно, что матрица в пределах элемента постоянна. С учетом этого выражение для вычисления матрицы окончательно будет таким:

.

Найдем вектор

Функции линейно зависят от координат и обладают свойствами: в узле 1 в узле 2 в узле 3 . Определенные интегралы вычисляются исходя из их геометрического смысла: каждый интеграл - есть объем пирамиды с единичной высотой и основанием (рис. 4.9). Отсюда . С учетом этого получаем окончательное выражение для вычисления вектора