Энергии конечного элемента

Полная потенциальная энергия любого КЭ состоит из потенциальной энергии деформации и потенциала внешних сил : . Первое слагаемое определяется как работа обобщенных внутренних сил (напряжений) при деформировании КЭ, взятая со знаком “-“, второе слагаемое - есть работа внешних сил КЭ при переходе его из деформированного состояния в исходное (недеформированное) состояние.

Рассмотрим данный вопрос на примере простейшего КЭ - прямолинейного стержня при одноосном однородном напряженном состоянии (рис. 4.3). Из курса сопротивления материалов известно, что при таком состоянии

. (4.2.1)

Здесь - площадь поперечного сечения КЭ, принимаемая постоянной по его длине. По закону Гука . С учетом этого выражение (4.2.1) примет вид

. (4.2.2)

Из выражения (4.2.2) видно, что есть квадратичная форма узловых перемещений КЭ. Найдем потенциал внешних сил (силы приведены к узлам 1, 2 КЭ): . Выражение для - линейная форма узловых перемещений КЭ. Полученная структура и типична для всех видов конечных элементов (различие будет состоять лишь в числе узловых перемещений).

Найдем полную потенциальную энергию КЭ:

. (4.2.3)

В состоянии равновесия КЭ

.

Т.к. и независимы, а , то должны выполнятся условия

,

что приводит к системе уравнений равновесия внутренних и внешних узловых сил КЭ:

.

Полученную систему уравнений можно представить в матричной форме

,

где

- соответственно вектор узловых перемещений, вектор нагрузки и матрица жесткости КЭ.

В справедливости матрицы можно убедиться, определяя коэффициенты жесткости согласно их смыслу в методе перемещений: есть реакция -ой дополнительной связи в основной системе (ОС) от перемещения (рис. 4.4). Это дает

,

,

что соответствует полученным выше результатам (см. матрицу ).

После введения матриц , и выражение (4.2.3) можно представить в матричной форме

, (4.2.4)

характерной для всех типов конечных элементов и для конструкции в целом. Нетрудно проверить, что для рассматриваемого КЭ это дает прежний результат: