Раздел IV. Обучение решению задач

§1. Математическая задача и ее основные компоненты

Учебные математические задачи являются эффективным средством усвоения учащимися понятий и методов школьного курса математики и математической теорий. Задачи при обучении математике имеют образовательное, практическое и воспитательное значение.

Задачи служат достижению всех целей: способствуют мотивации введения понятий, выявлению их существенных свойств, усвоению математической символики и терминологии, раскрывают взаимосвязи одного понятия с другими.

Именно поэтому при решении задач используется половина учебного времени уроков математики.

По своему функциональному назначению задачи как средство обучения могут быть направлены на формирование знаний, умений и навыков учащихся (обучающие задачи), или на осуществление контроля со стороны учителя и учащихся уровня сформированности ЗУН (контролирующие задачи).

Под обучающими следует понимать функции задач, направленные на формирование у учащихся системы математических ЗУН, на различных этапах их усвоения.

Под воспитывающими следует понимать функции задач, направленные на формирование диалектико-материалистического мировоззрения, познавательного интереса и самостоятельности.

Под развивающими функциями задач следует понимать тех, которые направлены на развитие мышления учащихся, на овладение ими эффективными приемами умственной деятельности.

К трем вышеуказанным функциям следует добавить еще одну важную функцию – контролирующую.

Под контролирующими следует понимать функции задач, направленные на установление уровней обученности и обучаемости, способности к самостоятельному изучению математики, уровня математического развития учащихся и сформированности познавательных интересов.

Каждая из названных основных функций задач практически никогда не выступает изолированно от других (Например, всякое обучение развивает, если оно поставлено правильно).

Задачи делятся:

· по характеру требования (задачи на доказательство, на построение, на вычисление);

· по функциональному назначению (задачи с дидактическими, познавательными, развивающими функциями);

· по величине проблемности (стандартные, обучающие, поисковые, проблемные);

· по методам решения (задачи на геометрические преобразования, задачи на векторы и др.);

· по числу объектов в условии задачи и связей между ними (простые и сложные);

· по компонентам учебной деятельности (организационно действенные, стимулирующие, контрольно – оценочные).

· по характеру связей между элементами задачи (алгоритмические, полуалгоритмические, эвристические).

Кроме того, различают задачи: стандартные и нестандартные; теоретические и практические; устные и письменные; одношаговые, двушаговые и др.; устные, полуустные, письменные и т.д.

Основные компоненты задачи:

1. Условие – начальное состояние.

2. Базис решения – теоретическое обоснование решения.

3. Решение – преобразование условия задачи для нахождения, требуемого заключением, искомого.

4. Заключение – конечное состояние.

Математическими считаются все задачи, в которых переход от начального состояния (1) к конечному (4) осуществляется математическими средствами, т.е. математическим характером компонентов: обоснование (2) и решение (3).

Если все компоненты задачи (условие, обоснование, решение, заключение) – математические объекты, то задача называется чисто математической; если математическими являются только компоненты решения и базис решения, то задача называется прикладной математической задачей.

На основе рассматриваемой модели общего понятия задачи и ее основных компонентов выделяют следующие типы задач:

1.Стандартной называется задача, в которой чисто определено условие, известны способ решения и ее обоснование, а также даны упражнения на воспроизведение известного.

2. Задача называется обучающей, если в ней неизвестен или плохо определен один из основных компонентов.

3. Если неизвестны два компонента, задача называется поисковой,

4. а если три – проблемной..

Основные этапы решения задачи по Д. Пойа [5].

Чтобы удобно сгруппировать вопросы и советы, различают четыре ступени в процессе решения задач. Во-первых, мы должны понять задачу; мы должны ясно видеть, что в ней является искомым. Во-вторых, мы должны усмотреть, как связаны друг с другом различные элементы задачи, как неизвестное связано с данными. Это необходимо, чтобы получить представление о решении, чтобы составить план. В-третьих, мы осуществляем наш план. В-четвертых, оглядываясь назад на полученное решение, мы вновь изучаем и анализируем его.

Итак, этапы решения задач по Д. Пойа:

I. Понимание постановки задачи.

II. Составление плана.

III. Осуществление плана.

IV. Анализ решения.

Остановимся более подробно на этих этапах решения задач.

1. Понимание постановки задачи. Ученик должен понять задачу. Но не только понять; он должен хотеть решить ее. Если ученику не хватает понимания задачи или интереса к ней, это не всегда его вина. Задача должна быть умело выбрана, она должна быть не слишком трудной и не слишком легкой, быть естественной и интересной, причем некоторое время нужно уделять для ее естественной и интересной интерпретации.

Прежде всего, должна быть понята словесная формулировка задачи. Проверить это учитель до некоторой степени может; он просит ученика повторить формулировку задачи, и ученик должен оказаться в состоянии легко это сделать.

Ученик также должен быть в состоянии указать главные элементы задачи – неизвестное, данное, условие. Таким образом, учитель редко может позволить себе обойтись без вопросов: что неизвестно? Что дано? В чем состоит условие?

Ученик должен внимательно, многократно и с разных сторон рассмотреть главные элементы задачи.

Если с задачей связана какая-либо геометрическая фигура, он должен сделать чертеж и указать на нем неизвестное и данные. Если необходимо как-нибудь назвать эти объекты, он должен ввести подходящие обозначения; уделяя определенное внимание подходящему выбору символов, он принужден сосредоточивать свои мысли на объектах, для которых нужно подыскать символы.

2. Составление плана. У нас есть план, если нам известно, хотя бы в общих чертах, какие вычисления или построения нам придется проделать, чтобы получить неизвестное. Главный шаг на пути к решению задачи состоит в том, чтобы выработать идею плана. Эта идея может появляться постепенно.

Лучшее, что может сделать учитель для учащегося, состоит в том, чтобы путем неназойливой помощи подсказать ему блестящую идею. Таким образом, часто оказывается уместным начать работу с вопроса: известна ли вам какая-нибудь родственная задача? Нельзя ли воспользоваться ею? Нельзя ли сформулировать задачу иначе?

Пытаясь использовать различные известные задачи и теоремы, рассматривая всевозможные видоизменения задачи, экспериментируя с разными вспомогательными задачами, мы можем оставить нашу первоначальную задачу так далеко в стороне, что возникает опасность совсем распроститься с ней. Но следующий превосходный вопрос вернет нас снова к ней: Все ли данные вы использовали? Все ли условия?

3. Осуществление плана. Нелегко придумать план, найти идею решения. Очень многое требуется для этого: ранее приобретенные решения, мозг, приученный к логическому мышлению, полная сосредоточенность и еще одно: удача. Осуществить же план решения гораздо легче; здесь нам потребуется главным образом терпение.

План указывает лишь общие контуры решения; теперь нам нужно убедиться, что все детали вписываются в эти детали, одну за другой, пока все не станет совершенно ясным и не останется ни одного темного угла, в котором может скрываться ошибка.

Если учащийся выработал план решения, главная опасность теперь в том, что учащийся может забыть свой план. Учитель должен все же настаивать, чтобы учащийся проверял каждый свой шаг.

Самое важное состоит в том, чтобы учащийся был по-настоящему убежден в правильности каждого шага. В некоторых случаях учитель может указать на разницу между «увидеть» и «доказать»: ясно ли вам, что предпринятый шаг правилен? А в состоянии ли вы доказать, что он правилен?

4. Анализ решения. Даже очень хорошие учащиеся, получив ответ и тщательно изложив ход решения, закрывают тетрадь и переходят к другим делам.

Учащийся осуществил свой план. Он записал решение, проверяя каждый шаг. Таким образом, он имеет неплохие основания считать свое решение правильным.

Тем не менее, ошибки всегда возможны. Поэтому проверка его всегда желательна. Особенно важно не проглядеть (если он имеется) какой-либо быстрый интуитивный способ проверки результата или хода решения. Нельзя ли проверить результат? Нельзя ли проверить ход решения? Нельзя ли получить тот же результат иначе?

Одна из первых и главных обязанностей учителя состоит в том, чтобы не создать у учащихся впечатления, что математические задачи мало связаны одна с другой и не связаны вообще больше ни с чем. Нам представляется естественная возможность исследовать, как связана наша задача с другими, когда мы оглядываемся назад на ее решение. Учащиеся найдут, что, действительно, очень интересно снова окинуть взглядом решение, если они честно затратили усилия, чтобы ее получить, и осознают, что плодотворно поработали.

Представим более развернутую схему процесса решения задачи:

Каждая задача имеет идейную и техническую сложность. Идейная часть решения дает ответ на вопрос, как решать задачу, т.е. какие методы, способы и приемы нужно использовать, чтобы решить данную задачу. Техническая часть представляет собой реализацию найденной идеи. Есть задачи, в которых главное найти путь (идею) решения, а технически ее реализовать не составляет особого труда. Есть задачи, в которых путь решения достаточно очевидна, а ее реализация требует очень громоздких вычислительных выкладок. Есть также и задачи, в которых идейная и техническая части приблизительно равнозначны. Но надо помнить, что для решения одних задач вполне достаточно владения методом решения и некоторыми вычислительными навыками, для решения других требуется глубокое, осознанное понимание сути вопроса. И в этом случае без теоретических знаний нельзя обойтись.

Решая математическую задачу, можно познать много нового: знакомится с новой ситуацией, описанной в задаче, с применением математической теории к ее решению, познает новый метод решения или новые теоретические разделы математики, необходимые для решения задачи, и т. д. Иными словами, при решении математических задач человек приобретает математические знания, повышает свое математическое образование.

Вопросы и задания:

1. Какова роль задач в обучении математике? Какие функции выполняют задачи в процессе обучения школьников?

2. Охарактеризуйте виды задач и опишите их.

3. Назовите и охарактеризуйте основные компоненты задачи. Произведите разбор какой-либо задачи покомпонентно.

4. Раскройте содержание этапов решения задачи и проанализируйте их на примере любой задачи школьного курса математики.

5. Придумайте приемы осуществления анализа решения задачи на примере конкретной задачи школьного курса математики.

6. Разработайте фрагмент урока по проведению анализа условия арифметической, алгебраической, планиметрической и стереометрической задачи.

Литература

1. Горнштейн, П.И., Мерзляк, А.Г. Полонский, В.Б. и др. Экзамен по математике и его подводные рифы. – М.: Илекса, Харьков: Гимназия, 1998. – 236 с.

2. Готман, Э.Г. Задача одна – решения разные: Геометр. задачи: кн. для учащихся. – М.: Просвещение, 2000. – 224 с.

3. Гусев, В.А., Орлов В.В., Панщина В.А. и др. Методика преподавания геометрии: учеб. пособие для студ. высш. пед. учеб. заведений. – М.: Издательский центр «Академия», 2004. – 368 с.

4. Игнатьев, Е.И. Математическая смекалка. Занимательные задачи, игры, фокусы, парадоксы. – М.: Омега, 1994. – 192 с.

5. Пойа, Д. Как решать задачу. – Львов: Журнал «Квантор», 1991. – 215 с.

6. Шарыгин, И.Ф., Голубев, В.И. Факультативный курс по математике. Решение задач: учеб. пособие для 11 кл. сред. шк. – М.: Просвещение, 1991. – 384 с.

§2. Решение нестандартных задач
в курсе математики 5-6 классов

Важным моментом подготовки к уроку является поиск приемов, позволяющих эффектно использовать учебный материал для выработки у школьников навыков самообразования. На уроках должна быть поставлена своя сверхзадача, сводящаяся именно к формированию этих навыков и меняющаяся в зависимости от темы урока. В одном случае она состоит в обучении приемов анализа, умению видеть закономерности, ставить вопросы, делать выводы, в другом случае – в формировании критического отношения учащихся к результатам своей работы, требовательности к себе.

Известно, что многие ученики просто боятся приступить к задачам, алгоритм решения которых им неизвестен. Порой проявляется страх перед трудностями, неумение преодолевать их самостоятельно. В таком случае нужна задача, которая, на первый взгляд, кажется, простой, а на деле требует нестандартного подхода.

Один из надежных приемов для решения проблемы – использование нестандартных и занимательных задач на уроках математики. Под нестандартными задачами можно понимать либо задачи, не относящиеся ни к одному из рассматриваемых типов, либо задачи на известные нам темы, которые традиционными методами не решаются. Но надо отметить, что, несмотря на свою нестандартность, такие задачи не выходят за рамки школьной программы, поскольку могут быть решены школьными методами.

Прежде всего, хотелось бы подчеркнуть, что такие задачи должны быть связаны с изучаемым материалом. Их условия целесообразно формулировать коротко и просто, а где потребуется с записью краткой записи на доске. Среди этих задач есть задачи на смекалку, задачи-шутки, которые вызывают оживление в классе, пробуждают у учащихся “вкус” к умственной работе. Автор популярной книги “Математическая смекалка” Е.И. Игнатьев писал: “... умственную самостоятельность и смекалку нельзя ни “вдолбить”, ни “вложить” ни в чью голову. Результаты надежны лишь тогда, когда введение в область математических знаний совершенствуются в легкой и приятной форме, на предметах и примерах обыденной и повседневной обстановки, подобранных с надлежащим остроумием и занимательностью” [3].

Нестандартные задачи лучше предлагать к концу урока, когда учащиеся уже устают писать, решать. Благодаря своей оригинальности, задачи сами по себе вызывают интерес. При решении нестандартных задач целесообразно рассматривать различные способы решения. Особое внимание надо обращать на решение задач арифметическим способом, так как именно решение задач арифметическим способом способствует развитию оригинальности мышления, является одним из лучших средств развития самостоятельного творческого мышления учащихся.

Как научить учащихся решать нестандартные задачи? Естественно научить решению задач, лишь показывая образцы таких решений невозможно. Прежде всего, следует учесть, что научиться решать задачи учащиеся смогут лишь, решая их. Ибо решение любой достаточно трудной задачи требует от учащегося напряженного труда и упорства.

Воля и упорство наиболее полно проявляются у учащихся, если задача интересна. Поэтому учитель должен стараться подбирать такие задачи, чтобы учащиеся хотели бы их решать. Подбирая задачи, нужно помочь учащемуся обнаружить, что и математическая задача может быть столь же увлекательной, как и головоломка, и, что, решив задачу, можно получить огромное удовольствие.

Рассмотрим примеры задач, чтобы выяснить особенности процесса их решения.

Задача 1: Когда “послезавтра” станет “вчера”, то “сегодня” будет также далеко от воскресенья, как тот день, который был “сегодня”, когда “вчера” было “завтра”. Какой сегодня день недели?

Заметим, что толкование условий такой задачи в буквальном смысле не дает результата, ибо ситуация настолько “запутана”, что необходима расшифровка практически каждой фразы. Например, фраза “ послезавтра” станет “вчера” означает, что послепослезавтра наступит через 3 дня, начиная с того дня, который назван “сегодня”. С другой стороны, в условии когда “ вчера” было “завтра” говорится, что 2 дня тому назад было позавчера. Таким образом, задачу можно переформулировать в следующую: Какой сегодня день недели, если послепослезавтра и позавчера одинаково отстоят от воскресенья?

При анализе условия задачи можно задавать разные вопросы, типа: что дано, что требуется найти, что нужно знать для того, чтобы ответить на вопрос задачи и т.д. Такой анализ имеет результат тогда, когда найдена некоторая узловая деталь в ее условии, переосмысление которой как бы “открывает” идею решения.

При решении нестандартных задач учащимся приходится повторять пройденный материал, и, таким образом, они также устраняют свои пробелы по учебному материалу. Решение задач, допускающих ряд решений – увлекательная и интересная работа. Учащимся можно дать и стандартную задачу, но при этом предложить им решить эту задачу различными способами.

Задача 2.Расстояние от реки до турбазы туристы рассчитывали пройти за 6 ч. Однако после 2 ч пути они уменьшили скорость на 0,5 км/ч и в результате опоздали на турбазу на 30 минут. С какой скоростью шли туристы первоначально?

Решение. Эта задача является практической (текстовой). Для подобных задач никакого общего правила определяющего точную программу их решения, не существует. Однако это не значит, что вообще нет каких-то общих указаний для решения таких задач. Подробно сущность этих указаний мы рассмотрим в следующей главе. А пока лишь покажем, как эти указания практически используются.

Обозначим искомую первоначальную скорость туристов через х км/ч. Тогда за 6 ч, за которые они рассчитывали пройти расстояние от реки до турбазы, они прошли 6 х км. Фактически этот путь они прошли следующим образом: 2 ч они шли с первоначальной скоростью, а затем еще 4,5 ч (ибо они опоздали на 0,5 ч к сроку) - с уменьшенной скоростью (x - 0,5) км/ч. Следовательно, они прошли 2 х км и 4,5(x -0,5) км, а всего 2 х +4,5(x-0,5)км, что равно расстоянию от реки до турбазы, т.е. 6 х км. Получаем уравнение: 2 х + 4,5(x -0,5) = 6x.

Решив это уравнение, найдем: x = 4,5.

Значит, первоначальная скорость туристов равна 4,5 км/ч. Проанализируем процесс приведенного решения задачи 2. Сначала мы определили вид задачи, и, исходя из этого, возникла идея решения. Для этого, пользуясь весьма общими указаниями и образцами решения подобных задач, полученных в школьном курсе математики (надо обозначить одно из неизвестных буквой, например х, и выразить остальные неизвестные через х, затем составить равенство из полученных выражений), мы построили уравнение. Заметим, что эти указания, которыми мы пользовались, не являются правилами, ибо в них ничего не сказано, какое из неизвестных обозначить через х, как выразить остальные неизвестные через х, как получить нужное равенство и т.д. Все это делается каждый раз по-своему, исходя из условий задачи и приобретенного опыта решения подобных задач.

Полученное уравнение представляет собой уже стандартную задачу. Решив ее, мы тем самым решили и исходную нестандартную задачу.

Таким образом, смысл решения данной задачи состоит в том, что с помощью особого приема (составления уравнения) мы свели ее решение к решению эквивалентной стандартной задачи.

На следующем примере покажем решение одной задачи несколькими способами.

Задача 3. Путешественник идет из одного города 10 дней. Одновременно навстречу ему выходит другой путешественник, который на тот же путь тратит 15 дней. Через сколько дней они встретятся?

Решение. Способ 1 (арифметический перебор). За один день путешественники проходят 1/15+1/10=1/6 часть всего пути, за два дня 2/15+2/10=1/3 пути, за три 3/15+3/10=1/2, за четыре 4/15+4/10=2/3, за пять 5/15+5/10=5/6, а за шесть дней 6/15+6/10=1, т.е. весь путь проходят за 6 дней.

Способ 2 (графический перебор).

Решение этим методом показано на рисунке.

Способ 3 (арифметический). За один день путешественники проходят 1/15+1/10=1/6 часть всего пути. Значит, весь путь пройдут за 1:1/6=6 дней.

Способ 4 (алгебраический). За х обозначим время, через которое они встретятся, весь путь примем за 1. Тогда составляем следующее уравнение 1/10·х+1/15·х=1. Решая его, находим х=6.

Нужно также подчеркнуть, что если разные способы и методы решения испробованы на одной и той же задаче, то наиболее выпукло выступают их отличительные черты, их сильные и слабые стороны. Первое решение задачи редко бывает лучшим, и естественно стремиться к тому, чтобы найти более простое и красивое решение.

Подавляющее большинство школьных задач предполагают однозначную трактовку условия задач. Такая практика формирует определенный стереотип и в результате предоставляются неполные решения. И потому очень полезно включение в процесс обучения решение многовариантных задач. Покажем решение такой задачи.

Задача 4. Расстояние между двумя машинами, едущими по шоссе, равно 200 км. Скорости машин - 60 км/ч и 80 км/ч. Чему будет равно расстояние между ними через 1 час?

Решение.Возможны четыре случая (сделайте рисунок!): 1) Машины едут навстречу друг другу: 200-(60+80)=60 км; 2) Машины едут в разные стороны: 200+(60+80)=340 км; 3) Машины едут в одну сторону, вторая догоняет первую: 200+(60-80)=180 км;

4) Машины едут в одну сторону, вторая впереди: 200+(80-60)=220 км.

Целью решения нестандартных задач является использование всех возможностей для того, чтобы большинство учащихся увидели лучшие стороны математики, возможности в преодолении трудностей. А также вызвать у них интерес к делу, пробудить желание и упорство искать, решать, вычислять, открывать новое. На нестандартные задачи надо смотреть как на творческую деятельность в тесной связи с другими видами учебной работы.

Ценность решения нестандартных задач заключается в том, что в процессе их решения учащиеся в значительной мере самостоятельно приобретают новые знания, у них появляется интерес к исследовательским задачам. И очень важно следить за сохранением этого интереса школьников к задачам.

Включение в урок нестандартных задач делает процесс обучения интересным и занимательным, создает рабочее настроение, облегчает трудности в усвоении учебного материала. Поэтому надо постараться подобрать нестандартные задачи по ключевым темам учебного курса математики.

Покажем несколько примеров задач, которые можно предложить на уроках математики по ключевым темам школьного курса математики 5-6 классов.

Сложение и вычитание натуральных чисел:

1. Как быстро вычислить: а) 1+3+5+7+...+99;

б) 99+95+91+...+7+3-1-5-...-89-93-97?

Указание: а) (1+99)+(3+97)+…+(19+51);

б) (99-97)+(95-93)+…+(7-5)+(3-1).

2. Можно ли число 45 представить в виде суммы нескольких натуральных чисел так, чтобы произведение всех этих чисел тоже было равно 45?

Ответ: Да, можно. Например, .

Делимость натуральных чисел:

3. Дано равенство

1 2 3+2 3 4+...+98 99 100=16738922. Доказать, что это равенство неверно.

Указание: Так как каждое слагаемое делится на 3, то сумма должна делиться на 3.

4. Существует ли квадрат, у которого длина стороны - целое число, площадь равна 201201201201?

Указание: Число делится на 3, но не делится на 9.

Простые и составные числа:

5. Ученики 5 класса купили 203 учебника. Каждый купил одинаковое количество книг. Сколько было пятиклассников и сколько учебников купил каждый из них?

Ответ: Учащихся – 29, по 7 книг купил каждый.

6. Верно ли что при любом натуральном n число n²+5n-1 простое?

Ответ: Нет, например n=6, 216+30-1=245.

Проценты:

7. По дороге идут два туриста. Первый из них делает шаги на 10% короче и в то же время на 10% чаще, чем второй. Кто из туристов идет быстрее и почему?

Решение. Когда второй турист делает 10 шагов длины а каждый, первый турист делает 11 своих шагов длины 0,9а каждый. Таким образом, первый турист проходит расстояние 9,9а за то же время, за которое второй проходит расстояние 10а, но 10а>9,9а при а>0. Значит, медленнее идет тот из туристов, кто делает шаги короче и чаще (т.е. первый).

Ответ: первый турист.

8. Периметр прямоугольника уменьшили на 5%, затем периметр полученного прямоугольника увеличили на 5%. У какого из трех прямоугольников большая площадь?

Ответ: у первого.

Действия с обыкновенными дробями:

9. Вычислите сумму: + + + … + .

Решение. Для нахождения рационального способа решения данной задачи нам поможет следующая идея. Заметим, что ; ; = – ; = – и т. д. Обратив внимание на записи, можно легко видеть, что

+ + + … + = 1– .

Ответ: .

10. Доказать, что для любого натурального n справедливо равенство: .

11. В футбольном турнире каждая команда сыграла с каждой по одному разу. Игры с ничейными результатами имелись у 1/3 команд, а 3/4 остальных команд имели поражения. Сколько результативных встреч было в турнире?

Решение. Без ничьих провели турнир 1-1/3=2/3 от общего числа команд, т.е. 2/3 всех команд имели только победы и поражения. Из условия получаем, что поражения имели 3/4 от этих двух третей, т.е. 2/3·3/4=1/2 от общего числа команд. Следовательно, оставшиеся команды имели только победы. Но такая команда в турнире может быть только одна, а по условию их число составляет 1-1/2-1/3=1/6 от общего числа команд. Таким образом, в турнире участвовало 6 команд.

Ответ: 6 команд.

Сравнение дробей:

12. Сравните выражения 2007/2008 и 2008/2009.

Решение. Дроби представим в следующем виде:

2007/2008=1-1/2008 и 2008/2009=1-1/2009. Осталось сравнить дроби 1/2008 и 1/2009.

Ответ: 2007/2008<2008/2009.

13. Какое число нужно вычесть из числителя дроби и прибавить к знаменателю, чтобы получилась дробь, равная .

Ответ: 1.

Прямоугольная система координат:

14. Вершины треугольника расположены в точках А(2;12), В(26;19) и С(14;13). Постройте этот треугольник и все треугольники, симметричные данному относительно осей координат и начала координат.

Положительные и отрицательные числа:

15. Верно ли, что если к отрицательному числу прибавить его квадрат, то получится положительное число?

Ответ: Нет. Например, (–0,1)+(-0,1)²=-0,09<0.

16. Можно ли написать подряд 17 целых чисел так, чтобы произведение любых четырех соседних чисел было отрицательно, а произведение всех чисел положительно?

Ответ: Да. Например, 2;2;2;-3;2;2;2;-3;2;2;2;-3;2.

Вопросы и задания:

1. Как определяется понятие «нестандартная задача»?

2. Составьте набор нестандартных задач по всем ключевым темам курса математики 5-6 классов.

3. Разработайте план обучения учащихся умению анализировать условие при решении задач 1, 2, 3, 15, 16.

4. Осуществите поиск решения задачи на примере решения задач 5-8.

5. Разработайте образцы записи решения задач 10, 11, 14.

6. Придумайте организацию деятельности учащихся на уроке по поиску идеи решения на примере решения задач 4; 9; 12; 13.

Литература

1. Болтянский, В.Г., Сидоров, Ю.В., Шабунин, М.И. Лекции и задачи по элементарной математике. – М.: Наука, 1971. – 592 с.

2. Гусев В.А., Орлов В.В., Панщина, В.А. и др. Методика преподавания геометрии: учеб. пособие для студ. высш. пед. учеб. заведений. – М.: Издательский центр «Академия», 2004. – 368 с.

3. Игнатьев, Е.И. Математическая смекалка. Занимательные задачи, игры, фокусы, парадоксы. – М.: Омега, 1994. – 192 с.

4. Пойа, Д. Как решать задачу. – Львов: Журнал «Квантор», 1991. – 215 с.

§3. Различные способы решения задач
в курсе алгебры 7-9 классов

В этом параграфе собраны математические задачи, каждую из которых можно решить разными способами. Приемы и способы решения математических задач весьма разнообразны. Но если способ или метод демонстрируется на специально подобранных примерах, то в сознании учащихся он невольно связывается с определенной задачей. А когда разные способы испробованы на одной задаче, можно лучше узнать специфику того или иного способа, его преимущества и недостатки в зависимости от содержания задачи.

Решение одной задачи несколькими способами приносит больше пользы, чем решение подряд нескольких стереотипных задач. Рассмотрение учеником различных вариантов решения, умение выбрать из них наиболее рациональные, простые, изящные свидетельствуют об умении ученика мыслить, рассуждать, проводить правильные умозаключения. Различные варианты решения одной задачи дают возможность ученику применять весь арсенал его математических знаний. Таким образом, рассмотрение различных вариантов решения задачи воспитывает у учащихся гибкость мышления. Поиск рационального варианта решения лишь на первых порах требует дополнительных затрат времени на решение задачи. В дальнейшем эти затраты с лихвой окупаются.

Надо отметить, что рациональные приемы решения не появляются сами, по одному только желанию. Рациональным способам решений надо обучать. Один из путей обучения и есть решение задач несколькими способами, выбор лучшего из них.

Важно и то, что придя разными путями к одному и тому же результату, получаем уверенность в правильности решения. Решение задач, допускающих различные решения очень увлекательное занятие, требующее знания многих разделов математики.

Рассмотрим примеры задач курса алгебры 7-9 классов, допускающих различные способы решения.

1. Дан график линейной функции y=ax + b (см. рис. 1). Найдите значение выражения b – а.

Решение. Способ 1. Заметим, что значение выражения b – а является значением данной функции при x = –1. Из графика видно, что это значение равно нулю.

Способ 2. Возможен также более громоздкий способ решения: вычислить значения коэффициентов а и b, подставив в уравнение, задающее функцию, координаты любых двух точек графика.

Ответ: 0.

2. Учительница написала на доске три числа, отличные от нуля, и велела Диме одно из них уменьшить на треть, другое увеличить на четверть, а третье уменьшить на одну пятую и результаты записать в тетради. Оказалось, что в тетради Дима записал те же числа, что и на доске, но в другом порядке. Докажите, что Дима ошибся.

Решение. Пусть x, yиz– числа, записанные учительницей. Тогда числа, записанные Димой, в каком-то порядке равны ; и . Предположим, что Дима не ошибся. Далее можно рассуждать по- разному.

Способ 1. Произведение чисел, записанных Димой, должно быть равно произведению чисел, записанных учительницей, то есть . Так как xyz¹0 и , то записанное равенство выполняться не может.

Способ 2. Учитывая, что среди записанных чисел нет нулей, получим два варианта возможных равенств: 1) ; и ; 2) ; и .

1) Из первого равенства следует, что 4x= 5y, а из второго – что 5y= 4z, поэтому x= z, что противоречит третьему равенству.

2) Из первого равенства следует, что 4z= 5y, а из второго – что 5x= 4z, поэтому x= y, что противоречит третьему равенству.

Таким образом, Дима ошибся, что и требовалось доказать.

3. Двое рабочих могут успеть за день либо напилить пять поленниц дров, либо наколоть восемь таких поленниц. Какое наибольшее количество дров они могут напилить, чтобы успеть наколоть их в тот же день?

Решение. Способ 1. Пусть x – искомое количество дров. На распиливание одной поленницы уходит дня, а на то, чтобы затем ее наколоть – дня, поэтому, на обработку x пленниц будет затрачено и дней соответственно. Так как вся работа должна быть сделана за день, то + £ 1. Решая это неравенство, получим, что x £ . Это означает, что наибольшее количество дров, которое можно распилить, а затем –наколоть, составляет поленницы.

Способ 2. Заметим, что оптимальная организация работы состоит в том, чтобы работать без пауз. Так как НОК (5; 8) = 40, то найдем, за какое время (при наилучшей организации работы) рабочие напилят и наколют 40 поленниц дров. Исходя из условия, 40 поленниц дров рабочие будут 8 дней пилить и 5 дней колоть. Следовательно, всю работу они сделают за 13 дней, значит, за день они смогут полностью обработать поленницы.

Ответ: поленницы.

4. Известно, что число p является одним из корней квадратного уравнения 5 x ² + bx + 10 = 0. Выразите через p корни уравнения 10 x ² + bx + 5 = 0.

Решение. Заметим, что дискриминанты указанных уравнений одинаковы: D = b ² – 200, поэтому, независимо от значения b, если первое уравнение имеет корни, то и второе также имеет корни. Далее можно действовать различными способами.

Способ 1. Из условия следует, что выполняется числовое равенство: 5 p ² + bp + 10 = 0, где p ¹ 0. Разделив его почленно на p ², получим: Û , то есть, число является корнем второго уравнения. Другой корень второго уравнения находим по теореме Виета или .

Отметим, что можно также использовать, что оба корня второго уравнения являются числами, обратными корням первого.

Способ 2. Запишем корни каждого из уравнений по формулам: 1) ; 2) . Следовательно, если один из корней первого уравнения равен p, то соответствующий корень второго уравнения равен . Другой корень находим по теореме Виета.

Ответ: и .

5. Чтобы перевезти 323 коробки с телевизорами, грузчики смогли придумать систему загрузки, позволившую в каждую автомашину помещать на 2 коробки больше и поэтому использовать на 2 машины меньше, чем предполагалось. Сколько машин им понадобилось?

Решение. Стандартное алгебраическое решение этой задачи приводит к уравнению = + 2, где x – искомое число.

Решение этого дробно-рационального уравнения стандартным образом приводит к громоздким вычислениям, тогда как можно догадаться, что числа x и x–2 являются делителями натурального числа 323, а этому условию удовлетворяет только x = 17, которое и является решением данного уравнения.

Ответ: x = 17.

6. Пешеход, велосипедист и мотоциклист движутся в одну сторону с постоянными скоростями. В тот момент, когда пешеход и велосипедист находились в одной точке, мотоциклист был в 6 км позади них. В тот момент, когда мотоциклист догнал велосипедиста, пешеход отставал от них на 3 км. На сколько километров велосипедист обгонял пешехода в тот момент, когда пешехода догнал мотоциклист?

Решение. Способ 1 («физический»). Будем считать, что пешеход неподвижен. Мотоциклист вначале отставал от пешехода на 6 км, а потом обогнал его на 3 км, а велосипедист вначале находился вровень с пешеходом, а затем обогнал его на 3 км. Следовательно, скорость мотоциклиста относительно пешехода в 3 раза больше скорости велосипедиста относительно пешехода.

Так как мотоциклист, догнав пешехода, проехал относительно пешехода 6 км, то велосипедист проехал относительно пешехода в три раза меньше, то есть 2 км.

Способ 2 («алгебраический»). Пусть скорости мотоциклиста, велосипедиста и пешехода равны соответственно а км/ч, b км/ч и c км/ч. Пусть также с момента «встречи» пешехода и велосипедиста до момента «встречи» мотоциклиста и велосипедиста прошло t часов, а с момента «встречи» пешехода и велосипедиста до момента «встречи» пешехода и мотоциклиста прошло T часов. Тогда составляем три уравнения: (a – c) t = 9; (b – c) t = 3; (a – c) T = 6. Найдем искомое расстояние S = (b – c) T. Разделив первое уравнение на второе, получим, что . Тогда , то есть , S = 2.

Способ 3 («геометрический»). Изобразим графики зависимости перемещения S от времени t для всех участников процесса в одной системе координат (см. рис. 2, лучи ОА, ОС и МА – графики движения велосипедиста, пешехода и мотоциклиста соответственно). Из условия задачи следует, что ОМ = 6; АС = 3.

Для того чтобы найти искомое расстояние ВР, рассмотрим две пары подобных треугольников: D АВР ~D АОМ, D ОВР ~D ОАС. Из первого подобия следует, что , а из второго, что . Следовательно, . Тогда .

Ответ: 2 км.

Вопросы и задания:

1. Как можно организовать работу учителя по рассмотрению различных способов решения одной и той же задачи?

2. Предложите решение одной задачи различными способами, демонстрирующее взаимосвязи различных частей математики.

3. Решите следующие задачи различными способами.

1. Найдите a ⁶ + 3 a ² b ² + b ⁶, если а ² + b ² = 1. Ответ: 1.

2. Про коэффициенты линейной функции у = kх + b известно, что k + b > 0, а 2 k + b < 0. Может ли график этой функции пересекать ось абсцисс в точке х = 3? Ответ: нет не может.

3. Существуют ли числа a, b, c и d, удовлетворяющие неравенству 0 < a < b < c < d, такие что уравнения x ⁴ + bx + c = 0 и x ⁴ + ax + d = 0 имеют хотя бы один общий корень? Ответ: нет, не существуют.

4. Найдите x + y, если x ³ + y ³ = 9, а x ² y + xy ² = 6. Ответ: 3.

5. Сравните дроби: и . Ответ: .

6. Положительные числа x, y и z удовлетворяют неравенству x ² + y ² + z ² £ 3. Докажите, что .

7. Найдите x ³ + y ³, если известно, что x + y = 5 и x+y+x ² y + xy ²=24. Ответ: 68.

8. После того, как учительница Мария Ивановна пересадила Вовочку с первого ряда на второй, Ванечку – со второго ряда на третий, а Машеньку – с третьего ряда на первый, средний возраст учеников, сидящих в первом ряду, увеличился на неделю, сидящих во втором ряду – увеличился на две недели, а сидящих в третьем ряду – уменьшился на четыре недели. Известно, что на первом и на втором ряду сидят по 12 человек. Сколько человек сидит в третьем ряду? Ответ: 9 человек.

9. У Золотой рыбки записаны и перенумерованы подряд все знакомые. Половина из них – щуки, треть – окуни, а все знакомые с номерами, делящимися на 4, – караси. Сколько всего знакомых у Золотой рыбки? Ответ: 6 знакомых.

10. Несколько гномов, навьючив свою поклажу на пони, отправились в дальний путь. Их заметили тролли, которые насчитали в караване 36 ног и 15 голов. Сколько было гномов, и сколько пони? Ответ: 12 гномов и 3 пони.

Литература

1. Антонов, Н.П., Выгодский, М.Я., Никитин, В.В. и др. Сборник задач по элементарной математике. – М.: Наука, 1968. – 528 с.

2. Болтянский, В.Г., Сидоров, Ю.В., Шабунин, М.И. Лекции и задачи по элементарной математике. – М.: Наука, 1971. – 592 с.

3. Горнштейн, П.И., Мерзляк, А.Г. Полонский, В.Б. и др. Экзамен по математике и его подводные рифы. – М.: Илекса, Харьков: Гимназия, 1998. – 236 с.

4. Готман, Э.Г. Задача одна – решения разные: Геометр. задачи: кн. для учащихся. – М.: Просвещение, 2000. – 224 с.

5. Игнатьев, Е.И. Математическая смекалка. Занимательные задачи, игры, фокусы, парадоксы. – М.: Омега, 1994. – 192 с.

6. Пойа, Д. Как решать задачу. – Львов: Журнал «Квантор», 1991. – 215 с.

§4. Использование свойств функции при решении задач
по курсу алгебры и начал анализа

Несмотря на большое количество решаемых задач, учащиеся испытывают определенные трудности при самостоятельном поиске решения задач, особенно если поиск теоретических обоснований не ограничен рамками конкретного параграфа учебника. Чтобы частично снять трудности, необходимо больше внимания уделить поиску плана решения задачи. К основным приемам поиска решения задачи можно отнести: 1) анализ требования задачи и соотнесение требования с условием; 2) анализ условия, его развертывание и установление связей с требованием задачи; 3) развертывание требования задачи.

Гораздо большую пользу принесет учащимся решение одной задачи несколькими способами, нежели решение большого количества задач одним способом. При этом среди разных способов можно выделить способы как рациональные, так и нерациональные.

Часто рациональные способы не используются учащимися в силу тех или иных особенностей мышления, привычки и т.д. Перед учащимися возникают своеобразные психологические барьеры, перешагнув через которые они дальше без особого труда могут решить предлагаемую задачу способом более рациональным и легким, нежели способом стандартным или кажущимся легким на первый взгляд. Для организации поиска рациональных способов решения задачи необходимо больше внимания уделять работе с решенной задачей: получение теоретических сведений из решения задачи; обобщение результатов; отыскание иных способов решения. Заметим, что поиску рационального способа решения способствует сравнение различных способов решения задачи, выбор наиболее понравившегося и объяснение, почему тот или иной способ показался более привлекательным (здесь играет роль краткость решения задачи, неожиданный подход, наглядность, связь между различными темами школьного курса математики и т.д.).

Приемы для организации поиска рационального способа решения задач:

· использование приобретенных знаний и опыта из различных областей школьной математики;

· создание ситуации, побуждающей ученика анализировать условие задачи, глубже осмысливать знания;

· побуждение к поиску различных способов решения задачи, рассмотрению вопроса с различных точек зрения;

· создание ситуации самопроверки, анализа собственных знаний и практических умений.

С каждой алгебраической задачей связаны составляющие их аналитические выражения. Эти аналитические выражения могут задавать функции одной или нескольких переменных. Поэтому довольно часто алгебраическую задачу удается решить после исследования подходящей вспомогательной функции методами математического анализа. Конечно, не все задачи решаются с помощью свойств функций, но, тем не менее, такой способ решения во многих случаях облегчает решение подобных задач.

Задачи, которые решаются с помощью свойств функции могут быть использованы при повторении свойств функции, при подготовке к выпускным и вступительным экзаменам.

Пример 1. Решите уравнение: .

Решение: Очевидно, х=1 является решением уравнения. Докажем единственность найденного решения. Записав уравнение в виде , и зная, что сумма убывающих функций , является также убывающей, видим, что значение 1 функция принимает только один раз при х=1.

Ответ: х=1.

Пример 2. Решите уравнение:

.

Решение: Рассмотрим функцию = . Тогда исходное уравнение приводится к виду . Из нечетности функции оно равносильно уравнению . Заметив, что функция является возрастающей, переходим к равносильному уравнению .

Ответ: .

Пример 3. Решите неравенство .

Решение. Здесь, используя свойства монотонности трансцендентных функций, перейдем от решения трансцендентного неравенства к решению рационального неравенства.

Воспользуемся тем, что, во-первых, а^в-а^с и (а-1)(в-с) имеют один знак, во-вторых, log_ab и (a-1)(b-1) также имеют один знак в области определения log_ab. Но при этом нельзя забывать, что формальная замена множителя log_ab выражением (a-1)(b-1) приводит к расширению области определения. Тогда, заменяя каждый множитель на выражение того же знака, приходим к неравенству в области определения x>1/5, x¹1/2, x¹1/3. Решая полученное рациональное неравенство и учитывая область определения, получим

Ответ:

Пример 4. Решите уравнение: .

Решение: Областью определения исходного уравнения является множество G= . На этом множестве обе части уравнения принимают неотрицательные значения. Следовательно, на множестве G исходное уравнение равносильно такому: . Положим . Отсюда легко заметить, что в левой части уравнения стоит функция, обратная к функции на множестве G. И, значит, уравнение имеет вид . Поскольку функция возрастающая, то исходное уравнение равносильно системе , или ,

Ответ: или .

При решении задач, связанных с поиском наименьших и наибольших значений функции, приходится комбинировать приемы и методы из различных разделов школьного курса математики. Первое, что приходит в голову, – исследовать функцию на наибольшее и наименьшее значения с помощью производной. Но у такого подхода есть недостаток: этот привычный путь может быть сопряжен со значительными техническими трудностями. Рассмотрим это на примерах.

Пример 5. Найдите наибольшее и наименьшее значение функции

Способ 1. Решим задачу с помощью производной, преобразовав условие к виду (1). Тогда .

Найдем критические точки: т. к. знаменатель производной больше нуля, то решая уравнение cos2x = 0, найдем , .

Исследуем функцию на экстремумы найденные значения. Из преобразованного вида условия (1) видно, что функция имеет наименьший период π. Воспользуемся следующим соображением: если некоторая функция имеет период Т, то и любая ее производная (при условии, что производная существует) также имеет период, равный Т. В точках производная меняет знак с минуса на плюс, а в точках - наоборот. Значит, наибольшее значение функции достигается в точках и равно 4,5, а наименьшее значение в точках и равно 1,5.

Способ 2. Найдем область значений функции под знаком корня: Т.к. , то , т.е. Следовательно, наибольшее значение функции равно 4,5, а наименьшее значение равно 1,5.

Как мы видим, приступая к решению задачи, особенно важно уметь оценивать трудоемкость метода и находить рациональный путь, избегая в некоторых случаях искушения решить задачу универсальным путем – с помощью производной, тем не менее, понимая, что далеко не все задачи на данную тему можно решить элементарными методами без помощи производной.

Но в некоторых случаях применение производной является наиболее рациональным способом решения, хотя исследование функций отходит на второй план. Например, с помощью специально введенных обобщающих функций и анализа их свойств, можно доказать числовые неравенства, решить уравнение, или неравенство, или установить число корней.

Пример 6. Что больше е^π или π^е?

Решение. Способ 1. Рассмотрим функцию f(x) = . Эта функция определена при x>0, функция возрастает на (0;е), убывает (е;+∞) и имеет наибольшее значение при х=е. (Проверьте!) Значит f(π)<f(e) или , отсюда е^π>π^е.

Cпособ 2. Можно рассмотреть и другую функцию: g(x)=x-elnx, g(e)=0, g^/(x)= при х≥е. Значит, g(x) возрастает и g(π)>0,

π-elnπ>0, е^π>π^е.

Пример 7. Сколько действительных корней имеет уравнение х⁵+х³+1 =0?

Решение. Пусть р(х)= х⁵+х³+1, тогда р^/(х)=5х⁴+3х²≥0. Функция р(х) возрастающая, поэтому не может иметь более одного действительного корня. Но р(-1)=-1<0, а р(0)=1>0. Значит на интервале (-1;0) существует такое х₀, что р(х₀)=0. Значит, данное уравнение имеет один действительный корень.

Пример 8. Решите неравенство: .

Решение: Функция определена на всей числовой прямой. Она достигает наибольшего значения в точке х=0. Следовательно, при всех . Функция также определена на всей числовой прямой и в точке х=0 достигает наименьшего значения равного 1, т.е. . Поэтому решением исходного неравенства является только х=1.

Ответ: х=1.

В конце рассмотрим использование свойств функции при решении задач с параметром.

Пример 9. Указать все значения а, для которых уравнение имеет решение.

Решение. Пусть cosx=t, |t|£1. Тогда с помощью несложных выкладок приходим к равносильной системе . Применим свойства обратимости функции. Функция y=t²-a при 0£ t £1 обратима и обратная ей функция . Таким образом, в левой и правой частях уравнения системы стоят взаимообратные функции на отрезке [ 0; 1 ]. Причем эти функции возрастающие, и, потому их общие точки лежат на прямой y=t. Значит, ó . Рассмотрим функции y (t)=t²-t на отрезке [ 0; 1 ]. Тогда областью значенияданной функцииявляется промежуток [ -1/4;0 ] (рис. 1).

Ответ: а Î[ -1/4; 0 ].

Пример 10. Решите уравнение для всех .

Решение. Перепишем уравнение в виде (1). Введем обозначения Тогда получим, что . Подставляя полученные значения в уравнение (1), после несложных преобразований получим (х+а)²+(х+а)=t²+t. Рассмотрим функцию f(y)=y²+y. Тогда уравнение примет вид f(x+a)=f(t). Функция f(y) возрастает на промежутке (-1/2; +∞). Поскольку (из подкоренного выражения данного уравнения) и 0<a<1/4 (из условия задачи), то х+а>0. Таким образом, х+а и t принадлежат промежутку монотонности функции. Следовательно, имеем х+а=t. Отсюда получим . Сопоставим с данным уравнением и получим . Дискриминант полученного квадратного уравнения неотрицателен при 0<a<1/4. Поэтому подходят оба корня полученного квадратного уравнения.

Ответ: .

Главную трудность в обучении математике составляет переход от чувственного к рациональному. Чтобы преодолеть эту трудность, необходимо учитывать, что обучение должно происходить при активной деятельности учащихся. Чем разнообразнее эта деятельность, тем выше качество усвоения знаний. Уровень знаний зависит и от характера деятельности – репродуктивной (воспроизводящей) или творческой.

Вопросы и задания:

1. Какие приемы можно использовать для организации поиска способа решения задачи?

2. Решите следующую задачу: При всех положительных значениях параметра а решите уравнение . И придумайте организацию деятельности учащихся на уроке по поиску идеи его решения.

3. Выполните поиск способа решения следующих задач:

а) При каком значении m функция имеет минимум в точке х₀ =