Основные положения и задачи теории подобия как основы научно-технического эксперимента

Задачи теории подобия как основы научно-технического эксперимента. В задачи теории подобия входит широкий спектр проблем, связанных как с вопросами реализации технических средств моделирования, так и с вопросами обработки и интерпретации экспериментальной информации: установление условий подобия; установление условий распространения результатов единичного расчетно-аналитического или физического эксперимента, выполненного при данных параметрах, на результаты других (не проводившихся) экспериментов; установление условий, при которых возможны обобщения экспериментальных и расчетных данных; определение технических характеристик моделирующих средств и т. д. [19].

Основные положения теории подобия. Основные положения теории подобия (теоремы подобия и дополнительные положения к ним) определяют свойства подобных объектов исследования (систем, процессов, явлений) и указывают требования, при удовлетворении которых один из объектов может рассматриваться как модель (оригинал) по отношению к остальным.

Основной характеристикой подобных объектов являются критерии подобия, с помощью которых устанавливаются закономерности взаимооднозначного соответствия модели и оригинала. В наиболее широко распространенном случае критерии подобия — это идентичные по форме алгебраической записи и равные численно для подобных объектов безразмерные степенные комплексы (произведения или отношения) определенных групп параметров, характеризующих эти объекты. Критерии подобия могут быть установлены и в тех случаях, когда математическое описание объекта исследования известно и когда такое описание отсутствует.

В тех случаях, когда известны математические о писания группы (двух или более) сопоставляемых качественно одинаковых процессов одной и той же физической природы и эти описания могут быть преобразованы к практически тождественному виду, рассматриваемые процессы считаются заведомо подобными. Такие процессы должны иметь одинаковые критерии подобия, устанавливаемые непосредственно из математического описания путем его приведения к безразмерному виду.

Предположим (для простоты рассуждений), что группа рассматриваемых заведомо подобных физических процессов φ(х) описывается линейным дифференциальным уравнением,

(11.5)

решение которого (общий интеграл) имеет вид:

(11.6)

Пусть, для конкретности, рассматривается процесс u_c(t) изменения во времени t напряжения u_c на конденсаторе С в цепи, образованной последовательным соединением конденсатора С с активным элементом с сопротивлением R, которая включается на постоянное напряжение Е (при нулевых начальных условиях). При различных значениях R, С и E процессы u_c(t) заведомо будут иметь качественно одинаковый характер, что позволяет рассматривать их как группу подобных процессов. Переходный процесс u_с(t) описывается линейным дифференциальным уравнением

, (11.7)

решение которого имеет вид

. (11.8)

Все члены любого уравнения, описывающего какой-либо физический процесс, всегда имеют одинаковую размерность (правило Фурье), поэтому уравнение (11.7) можно привести к безразмерному виду, т. е. представить в виде суммы безразмерных членов, если его разделить на один из членов, например на u_c:

(11.9)

или, обозначая

(11.10)

и

, (11.11)

. (11.12)

При рассмотрении подобных процессов u_1c(t) и u_11c(t) соотношения пропорциональности вида должны быть справедливы и для «точечных» значений параметров, и для их малых отклонений Δ от этих значений:

(11.13)

. (11.13)

С учетом (11.13) можно представить и в виде

(11.14)

Выражения для p₁ и p₁₁, имеющие вид безразмерных степенных комплексов параметров, характеризующих рассматриваемый процесс, называются критериями подобия; критерии подобия численно одинаковы для сходственных точек подобных процессов [20].

Аналогично, приведем к безразмерному виду (11.14) путем деления, например на первый член:

. (11.15)

Преобразования, аналогичные (11.14), выполненные с учетом (11.13), позволяют получить для (11.15) систему критериев подобия вида

, (11.16)

где P₁,..., Р_m — параметры рассматриваемого процесса (P_i = x);

c_j, α_j,..., ω_j — безразмерные числа, принимающие некоторые действительные (в том числе и нулевые) значения.

Критерии подобия, как и ранее, имеют вид безразмерных степенных комплексов параметров, характеризующих процесс φ(х). При определении выражений для критериев подобия символы дифференцирования опускаются; аналогично можно опустить и символы интегрирования, так как выражения (11.13) справедливы также и для больших отклонений любого параметра. Способ определения критериев подобия по известному математическому описанию процесса путем приведения его к безразмерному виду, при котором символы дифференцирования и интегрирования в выражениях для критериев подобия опускаются, называется правилом интегральных аналогов.

Для рассматриваемых подобных процессов существует, вообще говоря, две системы критериев подобия: первая — получаемая из дифференциального уравнения (11.14) или (11.7); вторая — из решения (общего интеграла) дифференциального уравнения (11.6) или (11.8). Однако обе эти системы критериев подобия, как легко убедиться, например, из (11.7) и (11.8), идентичны, т. е. имеют одинаковый физический смысл; противоположный результат означал бы, что перемена порядка операций при определении критериев подобия приводит к физически различным результатам, а это противоречит содержанию понятия подобия физических процессов.

Таким образом, интеграл дифференциального уравнения можно представить в виде функции критериев подобия. При этом, однако, констатируется только факт возможности получения такой функциональной зависимости; вид связей критериев, т. е. выражение интеграла в общем случае, не устанавливается.

Критерии подобия подобных процессов можно получить и в том случае, когда неизвестны математические описания процессов. Доказательство этого положения как математической теоремы для частных и общего случаев было дано рядом ученых (см. ниже). Практическое его содержание состоит в том, что любую функциональную зависимость, полученную из эксперимента или расчета и имеющую в размерных физических величинах (параметрах) P₁,...,P_j,...,P_m вид

(11.17)

или для рассмотренного выше примера (11.7)

, (11.18)

можно представить как

(11.19)

или

, (11.20)

где — критерии подобия.

Для определения критериев подобия в данном случае применяется метод анализа размерностей физических величин Р_j, определяющих характер рассматриваемого процесса. Возможность установления критериев подобия в тех случаях, когда вид аналитической функциональной зависимости между параметрами Р₁,.., Р_m неизвестен, создает предпосылки для представления данных экспериментального исследования определенного физического процесса в обобщенной форме и, таким образом, для распространения результатов единичного эксперимента на группу или класс подобных процессов.

Рассмотренные положения, однако, относятся к случаю заведомо подобных процессов, т. е. определяют необходимые условия существования подобия. В связи с этим возникает естественный вопрос относительно того, как распознать подобие или специально обеспечить его при построении модели, т. е. вопрос об условиях, не только необходимых, но и достаточных для существования подобия. Такие условия включают в себя наряду с требованием равенства критериев подобия сопоставляемых процессов также и определенные дополнительные требования к условиям однозначности — требования подобия начальных и граничных условий сопоставляемых процессов (а при соблюдении геометрического подобия — и подобия геометрических характеристик соответствующих пространственных областей).

Изложенные выше положения относительно необходимых и достаточных условий подобия обычно систематизируются в виде первой, второй и третьей теорем о подобии; первые две теоремы определяют необходимые, третья — необходимые и достаточные условия подобия.

Первая теорема подобия. В основной современной формулировке, учитывающей возможность существования различных видов подобия, первая теорема имеет следующий вид: явления, подобные в том или ином смысле (полно, приближенно, физически, математически и т. д.), имеют определенные сочетания параметров, называемые критериями подобия, численно одинаковые для подобных явлений. Первая теорема подобия называется также теоремой Ньютона или Ньютона—Бертрана.

Вторая теорема подобия. В основной формулировке эта теорема, чаще встречающаяся под названием p-теоремы, имеет следующий вид: всякое полное уравнение физического процесса, записанное в определенной системе единиц, может быть представлено функциональной зависимостью между критериями подобия, полученными из участвующих в процессе параметров.

Третья теорема подобия. В наиболее распространенной формулировке третья теорема имеет следующий вид: необходимыми и достаточными условиями для создания подобия являются пропорциональность сходственных параметров, входящих в условия однозначности, и равенство критериев подобия сопоставляемых явлений. Третья теорема подобия именуется также обратной теоремой подобия или теоремой Кирпичева—Гухмана.