Ценовые модели опционов

- Модель Блэка-Шоулза(Black-Scholes) -(англ. Black–Scholes Option Pricing Model, OPM) - это модель, которая определяет теоретическую цену на европейские опционы, подразумевающая, что если базовый актив торгуется на рынке, то цена опциона на него неявным образом уже устанавливается самим рынком. Данная модель получила широкое распространение на практике и, помимо всего прочего, может также использоваться для оценки всех производных бумаг, включая варранты, конвертируемые ЦБ, и даже для оценки собственного капитала финансово зависимых фирм.

- Биномиальная модель;

Вычислительная модель широко используется на различных биржах для расчета цен опционов в текущих торгах (в главе 5 учебника приведены отдельные характеристики этого подхода).

Биномиальное распределение может рассматриваться как распределение суммы случайных величин, каждая из которых принимает одно из двух значений: 1 с вероятностью p или О с вероятностью q = (1 -p)1.

Биномиальное распределение - первое из теоретически найденных распределений, связанное с именем швейцарского ученого Я. Бернулли. Биномиальное распределение-дискретное распределение случайной величины, принимающей значения k = 0, 1, 2,..., п. Оно образуется, когда в n случайных испытаниях вероятность осуществления некоторого события равна p, а вероятность его непоявления q=(1-p). При достаточно больших n имеет место формула Муавра - Лапласа.

Этот подход применен для цен опционов в 1979 г. J. Сох, S. Ross, M. Rubinstein2, а также R. Rendleman, B. Bartter3 и развит исследователями в последующем.

Основное допущение биномиальной модели для цен опционов состоит в том, что рынок опционов является (по предположению) эффективным, т.е. спекулянты не могут получить чрезмерную прибыль от комбинаций с базисным инструментом и опционом при одновременной покупке и продаже того и другого. При условии, если известна цена базиса, вероятность изменения этой цены в ту или иную сторону, безрисковая процентная ставка, можно рассчитать цену опциона с заданным сроком исполнения.

Биномиальная модель использует для определения цены опциона гипотетический портфель без риска, приносящий процентный доход согласно ставкам денежного рынка (в их изменениях по периодам). Эта модель в чистом виде предполагает отсутствие иных изменений базиса, кроме различий в паре (состоит из двух противоположностей) цен при торговле в дискретном режиме. Подход к расчету основан на принципе дуплицирования (pricing by duplication). Методически эта модель тесно связана с моделью Black - Scholes.

Для Call и Put при биномиальной модели возможны в любом (сколько-нибудь малом) отрезке времени только две (альтернативные) цены. Биномиальная модель для оценки опционов на активы более чем с одним периодом предполагает, что срок до исполнения может быть разделен на ряд периодов, в каждом из которых по-прежнему возможны только два изменения цен.

Цена (премия) опционов, полученная в этой модели, имеет ту же единицу измерения, что и цена базиса. Проценты соответственно пересчитываются в денежный эквивалент премии опциона.

Расчеты по биномиальной модели давно компьютеризированы.

Триномиальная модель предполагает при выделении и учете двух возможных периодов изменений цен базиса (до окончания срока опциона) появление во втором периоде не двух, а трех значений цен базиса и опциона.

Сохраняем условия и обозначения однопериодной биномиальной модели и покажем складывающиеся ситуации.

- Модель Хестона;

Модель, которую предложил Хестон, является более общей в сравнении с моделью Black-Scholes 1973 года, поскольку включает последнюю в себя в качестве специального случая. При создании рассматриваемой модели Хестон учитывал такие аспекты, как нелогнормальное распределение цен активов, эффект отрицательной корреляции волатильности и относительных доходностей, а также свойство волатильности возвращаться к равновесным уровням. При всем этом модель Хестона располагает аналитическими решениями для стандартных опционов.

Перечислим основные достоинства модели:

- существует точное решение для простых Европейских опционов;

- стохастический процесс дает возможность генерировать близкие к реализуемым функции распределения для цены;

- она учитывает корреляцию между ценой и волатильностью, обобщает модель Black-Scholes; генерирует поверхности имплицитной волатильности, очень близкие к реальным.

Теперь о недостатках:

- незавершенность модели;

- нестационарность параметров модели;

- недостаточность наклона поверхности имлицитной волатильности для опционов с коротким временем до экспирации.

- Модель Монте-Карло;

(методы Монте-Карло, ММК) – общее название группы численных методов, основанных на получении большого числа реализаций стохастического (случайного) процесса, который формируется таким образом, чтобы его вероятностные характеристики совпадали с аналогичными величинами решаемой задачи. Используется для решения задач в различных областях физики, математики, экономики, оптимизации, теории управления и др.