Плоская задача теории предельного равновесия

Выделим в грунте для плоской задачи элементарную грунтовую призму (рис. 5.1). По двум граням призмы действуют нормальные ( и ) и касательные ( и ) напряжения. Третья грань призмы наклонена к горизонтали под углом , напряжения на этой грани – и . Угол между полным напряжением р и нормальным называется углом отклонения . С изменением угла наклона меняется величина нормального и касательного напряжений, меняется угол .

Рассмотрим предельное напряженное состояние в несвязных грунтах (рис. 5.2). Для той же площадки отложим и . Точку 1 соединим с началом координат, получим угол . Устойчивость состояния равновесия характеризуется сравнением величин касательных напряжений и . Если < при , то это условие устойчивого, т.е. допредельного состояния.

Если касательная составляющая будет возрастать, то она не может быть выше точки 2, т.е. если = , это предельное равновесие, или иначе предельное состояние, когда угол внутреннего трения равен углу отклонения:

. (5.1)

Для связных грунтов условие предельного равновесия можно определить путем геометрических построений круга Мора (рис. 5.3).

Откладываем по оси ,затем вверх из точки ; откладываем напряжение по оси и вниз из точки . Точки M и N соединяем прямой. Проводим радиусом aN круг Мора. Откладываем угол , точку K соединяем с точкой a и проводим касательную в точку K до пересечения с осью . Получаем два прямоугольных треугольника О ₁ Ka и аNn, в которых Ka = aN.

; ; ;

.

Так как Ka = aN, отсюда

. (5.2)

Получили условие предельного равновесия в общем виде. Оно связывает напряжения и параметры прочности ().

В это уравнение входят три неизвестные компоненты напряжений , и , которые могут быть определены решением системы, состоящей из двух дифференциальных уравнений равновесия и одного алгебраического уравнения – условия предельного равновесия:

(5.3)

где x, z – соответственно горизонтальная и вертикальная координатные оси; – удельный вес грунта.

Условие предельного равновесия можно выразить через главные напряжения, т.к. ; ; . Подставим их в уравнение (5.2) и получим

. (5.4)