Основное уравнение гидростатики

Пусть жидкость находится в сосуде и на ее свободную поверхность действует давление р _о. Возьмем в массе жидкости произвольную точку А, имеющую координату Z, и определим в ней гидростатическое давление р (рисунок 1.5). При этом координату свободной поверхности обозначим Z_о.

Рисунок 1.5

На жидкость, находящуюся в сосуде, действует единственная массовая сила – сила тяжести, ускорение которой g направлено вниз. Следовательно, проекции ускорения силы тяжести на координатные оси x, y, z равны X= 0; Y= 0; Z=–g.

Для вывода основного уравнения гидростатики воспользуемся уравнением (1.12)

dр=r (X×dx+Y×dy+Z×dz),

которое, после подстановки в него проекций ускорения g, примет вид

dр=–r×g×dz,

а так как r×g=g, то

dр=–g×dz.

Интегрируя, получим

р=–g×Z+C. (1.17)

Постоянную интегрирования С определим из условия, что при Z=Z_o, т.е. на свободной поверхности р=р_о. Тогда

р_о=–g×Z_о+C, откуда C = р_о +g×Z_о.

Подставляя значение постоянной С в уравнение (1.17), получим

р= р_о –g×Z +g×Z_о. (1.18)

Для выбранных точек А, находящейся в общем объеме жидкости, и В – на свободной поверхности жидкости, уравнение (1.18) можно записать

. (1.19)

Для любых двух точек данного объема жидкости

. (1.20)

Это уравнение выражает закон распределения гидростатического давления и называется основным уравнением гидростатики. Постоянная величина Н называется гидростатическим напором.

Значение гидростатического давления в любой точке жидкости можно получить из формулы (1.18), подставляя в нее глубину погружения точки А под свободную поверхность h=Z ₀ –Z:

р= р_о +g×Н. (1.21)

Следовательно, полное гидростатическое давление в любой точке жидкости равно сумме внешнего давления р ₀, действующего на свободной поверхности, и веса столба жидкости с площадью основания, равной единице, и высотой, равной глубине погружения точки под свободной поверхностью жидкости, т.е. давление обусловлено весом вышележащих слоев жидкости.

Основное уравнение гидростатики (1.21) может быть выведено и без использования дифференциальных уравнений равновесия жидкости.

Для этого рассмотрим жидкость, находящуюся в сосуде (рисунок 1.6) когда на ее поверхность действует давление р _о. Определим величину гидростатического давления р в произвольно взятой точке А, расположенной на глубине h. Для этой цели выделим около точки А горизонтальную площадку w и построим на ней вертикальный цилиндрический объем высотой h. Рассмотрим условия равновесия этого объема жидкости. На выделенный нами цилиндрический объем жидкости действуют: поверхностные силы Р _о = р_о×w, Р= р×w, F ₁ и F ₂, а также массовая сила G=g×h×w (сила тяжести). Так как выделенный объем находится в равновесии, то все действующие на него силы взаимно уравновешены и сумма проекций этих сил на вертикальное направление равна нулю. Запишем сумму проекций этих сил, учитывая направление их действия

р_о×w+g×h×w– р×w =0.

Сокращая на w и решая уравнение относительно Р получим основное уравнение гидростатики

р=р_о+g×h.