Пример 6. Возвести в степень комплексные числа , ,

Возвести в степень комплексные числа , ,

Здесь тоже всё просто, главное, помнить знаменитое равенство.

Если мнимая единица возводится в четную степень, то техника решения такова:

Если мнимая единица возводится в нечетную степень, то «отщипываем» одно «и», получая четную степень:

Если есть минус (или любой действительный коэффициент), то его необходимо предварительно отделить:

16.3 РЕШЕНИЕ КВАДРАТНЫХ УРАВНЕНИЙ

Рассмотрим пример:

Нельзя извлечь корень? Если речь идет о действительных числах, то действительно нельзя. В комплексных числах извлечь корень – можно! А точнее, два корня:

Действительно ли найденные корни являются решением уравнения ? Выполним проверку:

Что и требовалось проверить.

Часто используется сокращенная запись, оба корня записывают в одну строчку под «одной гребёнкой»: .

Такие корни также называют сопряженными комплексными корнями.

Как извлекать квадратные корни из отрицательных чисел, думаю, всем понятно: , , , , и т.д. Во всех случаях получается два сопряженных комплексных корня.

Пример 7

Решить квадратное уравнение

Вычислим дискриминант:

Дискриминант отрицателен, и в действительных числах уравнение решения не имеет. Но корень можно извлечь в комплексных числах!

По известным школьным формулам получаем два корня:

– сопряженные комплексные корни

Таким образом, уравнение имеет два сопряженных комплексных корня: ,

ПРАКТИКУМ 16

ЗАДАНИЕ N 1
Тема: Действия над комплексными числами, заданными в алгебраической форме
Произведение комплексных чисел и равно …

Решение:
Напоминаем, что произведение данных комплексных чисел можно найти по правилу умножения одночлена на двучлен с учетом равенства
Тогда получим:

ЗАДАНИЕ N 2
Тема: Действия над комплексными числами, заданными в алгебраической форме
Произведение комплексных чисел и равно …

Решение:
Напоминаем, что произведение данных комплексных чисел можно найти по правилу умножения одночлена на двучлен с учетом равенства
Тогда получим:

ЗАДАНИЕ N 3 Тема: Действия над комплексными числами, заданными в алгебраической форме
Произведение комплексных чисел и равно …

Решение:
Напоминаем, что произведение данных комплексных чисел можно найти по правилу умножения одночлена на двучлен с учетом равенства
Тогда получим:

ЗАДАНИЕ N 4
Тема: Решение уравнений
Корни квадратного уравнения равны …

Решение:
Учитывая равенство , мы можем найти корни данного уравнения, принадлежащие множеству комплексных чисел; получим:




Корнями уравнения являются комплексные числа и

ЗАДАНИЕ N 5
Тема: Решение уравнений
Корни квадратного уравнения равны …

Решение:
Напоминаем, что дискриминант квадратного уравнения находится по формуле
; для исходного уравнения
, но учитывая равенство , мы можем найти корни уравнения, принадлежащие множеству комплексных чисел; получим:


Корнями уравнения являются комплексные числа и .

ЗАДАНИЕ N 6
Тема: Решение уравнений
Корни квадратного уравнения равны …

Решение:
Учитывая равенство мы можем найти корни данного уравнения, принадлежащие множеству комплексных чисел; получим:




Корнями уравнения являются комплексные числа и .

САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА 16

ЗАДАНИЕ N 1
Тема: Действия над комплексными числами, заданными в алгебраической форме
Произведение комплексных чисел и равно …