Анализ активного звена фильтра нижних частот 2-го порядка

Для реализации передаточной функции 2-го порядка часто используют схему рис..15 (схема Саллена – Кея).

Рис..9.15

Выполним ее расчет методом узловых напряжений. Считая усилитель идеальным, составим уравнения для узлов 3 и 4 схемы. Используем вновь обозначение  для размерной частоты:

Напряжение выражается через входное напряжение усилителя : . Исключая из системы напряжения и , получим

,

откуда передаточная функция звена равна

Квадрат ее модуля имеет структуру

Для определения пяти параметров схемы: G ₁, G ₂, C ₁, C ₂ и k имеем лишь три уравнения. Это позволяет наложить дополнительные условия на параметры, например, G ₁ = G ₂ = 1/ R; C ₁ = C ₂ = C. Тогда выражение передаточной функции примет вид

где τ = RC. Перейдем к безразмерной частоте ω_* = ωτ= ω RC и найдем квадрат модуля полученного выражения

Теперь для обеспечения требуемых значений коэффициентов a ₁ и a ₂ в выражении передаточной функции звена достаточно определить коэффициент усиления каскада, приравнивая почленно знаменатель квадрата модуля K ²() соответствующему сомножителю H ².

Для звена 2-го порядка с максимально плоской характеристикой H ² = 1/(1 + ), в знаменателе которого отсутствует член с , это приводит к равенству k ² – 6 k + 7 = 0, откуда k = 3 ± 2. Условие устойчивой работы звена, рассматриваемое далее, ограничивает допустимое значение коэффициента усиления значениями k < 3, которому удовлетворяет k = 3 – √2≈0,586.

При каскадной реализации фильтра 3-го порядка звену 2-го порядка отвечает сомножитель H ² равный 1/(1 – + ). Это приводит к условию для коэффициента усиления звена k ² – 6 k + 7 = – 1, из которого k = 3 ± 1. Для устойчивой работы звена необходимо k = 2.

Для двухкаскадного фильтра 4-го порядка с характеристикой H ² = 1/(1 + ) определим коэффициенты усиления усилителей каскадов, приравнивая знаменатели сомножителей, отвечающих отдельным каскадам, полученному выражению K ²(); получаем равенства , имеющие устойчивые решения: k ₁ = ≈ 2,235 и k ₂ = ≈1,152. Параметры пассивных элементов звеньев во всех рассмотренных случаях связаны с частотой среза фильтров ω_с соотношением ω_c RC = 1, поскольку коэффициенты a ₂ в выражениях для квадрата модуля H ²(ω²_*) равны единице.

Рассмотренные соотношения позволяют получить также характеристики для звена 1-го порядка, которое можно получить из рассмотренной схемы 2-го порядка (рис.9.15), исключая из нее любой из конденсаторов. Так, принимая C ₁ = 0, для передаточной функции звена 1-го порядка получим

где R _{1, 2} = 1/ G ₁; R ₁ + R ₂ = R. Параметры звена определяют аналогично путем приравнивания коэффициентов в сомножителях K_U и H ².