Законы и теоремы электрических цепей

Анализ и синтез электрических цепей основан на основных законах и теоремах теории электрических цепей. Для их формулировки введены так называемые топологические элементы цепей (схем):

- ветвь – незамкнутый участок цепи, содержащий элементы, на котором характеристики электрического тока не изменяются;

- узел (неустранимый) – место электрического соединения трёх и более ветвей;

- контур – любой замкнутый путь для электрического тока.

При расчётах дополнительно могут вводиться устранимые узлы, если требуется рассчитать напряжения в каких – то дополнительных точках схемы.

При анализе известными считаются величины источников энергии, пассивных элементов электрической цепи (схемы), а определяются значения токов и напряжений. Чтобы анализ не был привязан к конкретным носителям электрического заряда, как правило, считается, что электрический ток образован движением положительных зарядов. За положительное направление токов и напряжений на элементах принимается направление от "плюса" к "минусу" для цепей постоянного тока. Для цепей переменного тока ''подход'' аналогичный, только направления условно "привязываются" к одной из полуволн знакопеременного сигнала. Направление электродвижущей силы источника напряжения (внутреннее напряжение источника) совпадает с его направлением тока. Обозначения токов и напряжений, принятые в технической литературе, приведены в списке обозначений. При анализе, направления неизвестных токов и напряжений указываются случайным образом. Если в расчётах получились отрицательные значения токов и напряжений – случайно указанные направления не совпали с направлениями, принятыми в ТЭЦ за положительные.

Синтез – задача, обратная анализу, т.е. проектирование схемы, а затем и реальной цепи по требованиям к токам, напряжениям или иным параметрам.

Основными законами ТЭЦ считаются:

- первый закон Кирхгофа (формулируется для узла);

- второй закон Кирхгофа (формулируется для контура, или, в частном случае, для ветви):

- закон Ома (формулируется для сопротивления или для сопротивления и источника ЭДС). Закон Ома является следствием второго закона Кирхгофа, хотя был открыт ранее.

Основными теоремами ТЭЦ считаются;

- теорема наложения (принцип суперпозиции) – справедлива для линейных цепей и для ''линейного'' режима работы нелинейных цепей;

- теорема об эквивалентном источнике энергии;

- теорема взаимности (обратимости) – справедлива для взаимных цепей, для которых коэффициент передачи по току или напряжению одинаков в прямом и обратном направлениях;

- теорема компенсации (замещения).

Первый и второй законы Кирхгофа являются, соответственно, следствием законов сохранения заряда и энергии. Теоремы электрических цепей доказываются законами Кирхгофа.

На эквивалентной схеме (рис. 1.11) указаны направления неизвестный токов, направления напряжений, направления обхода контуров. Известными считаются значения пассивных элементов и источников энергии.

Формулировка первого закона Кирхгофа:

Алгебраическая сумма мгновенных значений токов, сходящихся в узле, равна нулю. Одно из направлений токов при этом (например, к узлу) считается положительным. Например, для первого узла (рис. 1.11):

+ - = 0. (1.7)

Формулировка второго закона Кирхгофа:

В любом замкнутом контуре электрической цепи алгебраическая сумма мгновенных значений ЭДС равна алгебраической сумме падений напряжений на пассивных элементах.

(1)

+

1k 2k

+

(0)

Рис 1.11

Величина при составлении уравнения считается положительной, если её направление совпадает с выбранным направлением обхода. Например, для первого контура (рис 1.11):

= - ₌ - . (1.8)

Формулировка закона Ома для сопротивления: мгновенное значение падения напряжения на сопротивлении прямо пропорционально мгновенному значению величины тока и сопротивлению. Например, для сопротивления (рис 1.11):

. (1.9)

Для участка цепи с источником ЭДС (рис.1.11, левая ветвь схемы) закон Ома для указанных направлений величин принимает вид:

. (1.10)

Формулировка теоремы наложения:

Мгновенное значение тока или напряжения в любой ветви линейной электрической цепи от нескольких источников энергии, действующих в цепи, может быть найдено алгебраическим суммированием мгновенных значений токов или напряжений, от источников энергии, взятых в отдельности.

При использовании для анализа теоремы наложения последовательно исключаются все источники энергии, кроме одного (ветви с источником тока размыкаются, а идеальные источники напряжения замыкаются перемычками). Например, у схемы на рисунке 1.10 вначале оставляется источник , затем – .

Формулировка теоремы об эквивалентном источнике энергии:

Для определения тока или напряжений в произвольной ветви электрической цепи оставшаяся часть может быть заменена эквивалентным источником ЭДС () с последовательным сопротивлением () или эквивалентным источником тока () с параллельным сопротивлением (). Параметры эквивалентных источников энергии определяются как:

, (1.11)

, (1.12)

, (1.13)

где индексом " ", " " означают режимы холостого хода и короткого замыкания на клеммах, к которым подключена анализируемая ветвь.

Формулировка теоремы взаимности:

Если измеряется (анализируется) ток в произвольной ветви взаимной цепи от источника напряжения, находящегося в другой ветви, то результат не изменится, если источник электрической энергии и измерительный прибор поменять местами.

Перечисленные законы и теоремы цепей можно использовать при анализе и при экспериментальных исследованиях. В анализе (особенно при использовании программных средств) также используется теорема замещения, согласно которой пассивные радиоэлементы могут быть заменены управляемыми источниками электрической энергии. Это следует непосредственно из закона Ома, который устанавливает связь тока и напряжения с величиной сопротивления.