Одноканальная СМО с ожиданием (М/М/1)

Поток входящих заявок пуассоновский с интенсивностью l, интенсивность обслуживания m.

Такая система может находиться в (n+2) состояниях:

Z₀ – система свободна, очереди нет, канал обслуживания простаивает;

Z₁ – одна заявка находится в канале обслуживания, очереди нет;

.

.

.

Z_n+1 – одна заявка находится в канале обслуживания и в очереди находятся n заявок.

Граф переходов описанной системы показан на рис.3.7.

l l..... l l..... l

.........

m m m m m

Рис.3.7.

Данная модель - это частный случай модели, «размножения и гибели», поэтому для нахождения вероятностей состояний используются формулы Эрланга:

; и .

Основные характеристики данной системы:

1) вероятность отказа – это вероятность того, что единственный канал обслуживания и n мест в очереди заняты т.е. это вероятность состояния Z_n+1:

2) вероятность обслуживания или относительная пропускная способность: ;

3) абсолютная пропускная способность – интенсивность покоя обслуженных заявок: ;

4) средняя длина очереди определяется по стандартной формуле для математического ожидания дискретной случайной величины с учётом вероятностей состояний и связи номера состояния с числом мест в очереди:

5) среднее число заявок в системе: ;

6) среднее время ожидания:

Если СМО имеет неограниченную очередь (), то стационарный режим устанавливается только при выполнении условия r<1, т.к. в противном случае очередь неограниченно возрастает. Если же r<1, то и .

При бесконечной очереди любая заявка, поступившая в систему обязательно будет обслужена, поэтому абсолютная пропускная способность равна λ. Характеристиками таких СМО являются:

1) вероятность отказа - P_отк=0;

2) вероятность обслуживания - P_об=1;

3) средняя длинна очереди: - ;

4) среднее время ожидания - ;

5) среднее число заявок в системе - ;

6) среднее время пребывания заявки в системе - .