Студопедия.Орг Главная | Случайная страница | Контакты | Мы поможем в написании вашей работы!  
 

Приведем еще один пример. Пусть некоторая техническая система состоит



из n устройств (станки, подающие механизмы, элементы системы энергоснабжения и т.п.) и пусть эта система не может выполнять функции, если неисправно любое одно устройство. Тогда такая система имеет n+1 состояние: Z0 - все устройства исправны; Zi, i=1, n,-i-ое устройство отказало и находится в ремонте, а все остальные устройства исправны.

Совокупность технических устройств и бригады ремонтников можно рассматривать как систему массового обслуживания. Отказы технических устройств здесь образуют поток заявок на обслуживание, а бригады ремонтников являются обслуживающим устройством.

Процесс функционирования можно считать марковским с дискретными состояниями и непрерывным временем. Действительно здесь состояния Z0,Z1,Z2,...,Zn можно заранее перечислить, а переход системы из состояния в состояние происходит мгновенно в случайные моменты времени. Кроме того, вероятностные характеристики обслуживания отказавших устройств можно считать зависящими лишь от состояния системы в момент t0 и независящими от предыстории ее функционирования.

Функционирование СМО удобно описывать с помощью ориентированного графа, вершины которого соответствуют состояниям системы Z1,Z2,...,Zn, а дуги – переходам из состояние в состояние.

В случае обслуживания пользователей двумя ЭВМ граф состояний будет иметь вид, показанный на рис.3.1. Из состояния Z0, когда заявка на обслуживание отсутствует и обе ЭВМ простаивают, возможны два перехода в случайные моменты времени - переход в состояние Z1, когда первая ЭВМ занята обслуживанием пользователя, а вторая - свободна, и в состояние Z2, когда вторая ЭВМ занята, а первая - свободна. Из состояний Z1 и Z2 возможны два переход: в состояние Z0, когда пользователь обслужен, а новая заявка на обслуживание не поступила, и в

состояние Z3, когда заявка ЭВМ еще не обслужена, а появилась новая заявка В состоянии Z3 образована очередь на обслуживание пользователей. Из состояния Z3 возможны переходы либо

Рис.3.1. в состояние Z1, либо в состояние Z2, когда первая или вторая ЭВМ обслуживают лишь одного из пользователей, и очереди нет. Конечно, из состояния Z3 возможны и другие переходы, если пользователи с высокой интенсивностью приходят в вычислительный центр, и длина очереди растет. Однако, в данном примере не рассматриваются закономерности образования очереди.

На графе рис.3.1 отсутствует переход из состояния Z0 в состояние Z3. Если поток заявок является ординарным, то вероятность поступления одновременно более одной заявки теоретически равна 0, а это означает, что переход из Z0 в Z3 невозможен. Часто на графе состояний указываются интенсивности переходов. В нашем случае на рисунке обозначены: λ - интенсивность поступления заявок, μ1 - интенсивность обслуживания пользователя первой ЭВМ, μ2 - интенсивность обслуживания пользователя второй ЭВМ.

На рис.3.2. приведен граф состояний СМО, состоящий из n технических устройств и ремонтной бригады. В этом примере состояние Z0 - все устройства исправны. Из этого состояния система в случайные моменты времени может перейти с интенсивностью λ1,λ2,...,λn соответственно в состояние Z1, Z2,…

Рис.3.2 Zn. В состоянии Zi, i=1,n i-ое устройство отказало и ремонтируется, остальные устройства исправны, но вся система без i-го устройства не работает. Из i-го отказового состояния Zi система с интенсивностью восстановления μi, i=1,n может вернуться в работоспособное состояние Z0, когда все устройства исправны. В этой модели функционирования СМО предполагается, что в течение времени ремонта отказавшего устройства другие устройства не работают, и отказать не могут, то есть поток отказов ординарный.

Таким образом, для описания мартовской системы необходимо:

1) определить понятие состояния системы; состояния могут быть

связаны с числом заявок, находящихся в системе с моментами

обработки заявок и т.п.;

2) определить количество все возможных состояний

3) задать начальное состояние Z0;

4) построить граф состояний;

5)
 
 

задать интенсивности переходов между всем состояниями:
где Pij – вероятность перехода из состояния Zi в Zj.

Исчерпывающей характеристикой систем массового обслуживания описанного типа являются вероятности всевозможных состояний, системы для определения которых составляются система линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.

Способы составления уравнений рассматриваются на примере.

 
 

Пусть имеется система массового обслуживания, множество состояний которой и переходы можно представить в виде графа на рис.3.3.

Рис.3.3.

Вероятность нахождения системы в состоянии Zi обозначается Pi(t); интенсивности переходов между состояниями Zi и Zj – λij(i,j = 1,n).

Определим вероятность нахождения системы в состоянии Z2 - P2(t); для чего рассмотрим промежуток времени от t до t + ∆t и вычислим вероятность того, что в конце этого промежутка система будет находится в состоянии Z2. Это может произойти в следующих случаях:

a) в момент времени t система находилась в состоянии Z2 и за время ∆t не вышла из этого состояния;

b) в момент времени t система находилась в состояниях Z1 и Z5, но за время ∆t перешла в состояние Z2.

 
 

Вычислим вероятности событий a) и b). Вероятность P2(t + ∆t), будет равна произведению вероятностей пребывания системы в момент времени t в состоянии Z0 и вероятности того, что за ∆t она не выйдет из этого состояния:

где

 
 

Вероятность события b) равна сумме вероятностей перехода системы из состояний Z1 Z5:

 
 

Суммарная вероятность P2(t + ∆t), будет равна:

 
 

Образовав в левой части (3.1) конечную разность и устремив ∆t к нулю, получим:

 
 

Аналогично можно получить производные вероятностей и остальных состояний:

 
 

Таким образом получена система дифференциальных уравнений, решив которую, можно определить вероятности всевозможных состояний системы. Обобщая уравнения системы, можно записать:

Уравнения можно написать, не прибегая к выводу, непосредственно по графу состояний, если использовать следующее правило: в левой части каждого из уравнений стоит производная вероятности i-го состояния; в правой части - сумма произведений вероятностей состояний, из которых выходят стрелки в данное состояние, на интенсивности соответствующих переходов, минус произведение суммарной интенсивности перехода из i-го состояния на вероятность этого состояния.

 
 

Пользуясь этим правилом, можно записать систему уравнений СМО, граф состояний которой изображен на рис.3.1. Обозначим P0(t), P1(t), P2(t), P3(t) - вероятности пребывания системы в момент времени t соответственно в состояниях Z0, Z1, Z2, Z3. Тогда система уравнений будет иметь вид:

Решение дифференциальных уравнений возможно, если известны начальные условия функционирования системы. Часто можно рассматривать работу системы с момента времени, когда она свободна от заявок. Тогда за начальные условия принимаются: P0(0) = 1, P1(0) = P2(0) =... = Pn(0) = 0.

Уравнения вида (3.1), (3.2) и (3.3) называют уравнениями А.Н.Колмогорова, по имени выдающегося советского математика.

Важным свойством уравнение Колмогорова является следующее: сумма правых частей уравнения равна нулю.Это свойство можно использовать при проверке правильности написания уравнений.

Можно доказать, что для системы в стационарном состоянии вероятности состояний имеют предельные значения, не зависящие от начального состояния системы, то есть

limPi(t) = Pi , i=1,n, (3.4)

t→∞

где Pi – финальные вероятности.

 
 

Это означает, что при определении финальных вероятностей следует все производные в левой части уравнений Колмогорова принять равным нулю. Тогда система дифференциальных уравнений превращается в систему линейных алгебраических уравнений.

 
 

Для случайной системы, граф состояний которой приведен на рис.3.1., система уравнений имеет вид:

 
 

Однородные уравнения (3.5) и (3.6) можно решить, используя уравнение, называемое нормировочным (сумма вероятностей всех состояний равна единице): для случая уравнений (3.6)

P0+P1+P2+P3 = 1

Теперь можно одно любое уравнение системы исключить и заменить его нормировочным. Система будет иметь единственное решение. Смысл финальных вероятностей становится понятным, если их интерпретировать как средние относительные времена пребывания системы в соответствующих состояниях. Например, если в первом примере Р0=0.2; P1=0.25; P2=0.25; P3=0.3, то это значит, что исследуемая СМО находится в состоянии Z0 в среднем две десятых времени, в состояниях Z1 и Z2 - по одной четверти времени и в состоянии Z3 - три десятых суммарного времени.

Зная финальные вероятности всех состояний СМО, можно найти ряд других важных показателей ее эффективности.

Часто в системах массового обслуживания интересуются не вероятностью пребывания в момент времени t в состоянии Zi, а вероятностью того, что в течение времени t система попадает (или не попадает) в это состояние. Тогда для определения Pi(t) следует считать, что процесс обслуживания закончен, если система попала в состояние Zi, т.е. считать, что переходы из i-го состояния в другие состояния невозможны ("экран" для соответствующих ветвей на графе состояний).

Пусть, например, нужно определить вероятность того, что техническая система, граф состояний которой изображен на рис.3.2., не откажет в течение времени ∆t, т.е. ни одно из устройств системы не попадет на обслуживание в ремонтную бригаду. Из графа видно, что в поставленной задаче необходимо определить вероятность P0(t) пребывания системы в состоянии Z0 в течение времени t.

Если же система попадет в одно из состояний Z1,Z2,...,Zn, то произойдет ее отказ. Очевидно, что для определения P0(t) необходимо в графе состояний запретить переходы в Z0 из состояний Z1,Z2,...Zn. На графе это отмечено пунктирными линиями ("экраны"). Тогда система дифференциальных уравнений примет вид:

       
   
 

При начальных условиях P0(0) = 1, Pi(0) = 0,

P0(t) = e-λt,

где λ = λ1 + λ2 +... +λn - интенсивность отказа системы.





Дата публикования: 2014-11-02; Прочитано: 487 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!



studopedia.org - Студопедия.Орг - 2014-2024 год. Студопедия не является автором материалов, которые размещены. Но предоставляет возможность бесплатного использования (0.009 с)...