Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | ||
|
из n устройств (станки, подающие механизмы, элементы системы энергоснабжения и т.п.) и пусть эта система не может выполнять функции, если неисправно любое одно устройство. Тогда такая система имеет n+1 состояние: Z0 - все устройства исправны; Zi, i=1, n,-i-ое устройство отказало и находится в ремонте, а все остальные устройства исправны.
Совокупность технических устройств и бригады ремонтников можно рассматривать как систему массового обслуживания. Отказы технических устройств здесь образуют поток заявок на обслуживание, а бригады ремонтников являются обслуживающим устройством.
Процесс функционирования можно считать марковским с дискретными состояниями и непрерывным временем. Действительно здесь состояния Z0,Z1,Z2,...,Zn можно заранее перечислить, а переход системы из состояния в состояние происходит мгновенно в случайные моменты времени. Кроме того, вероятностные характеристики обслуживания отказавших устройств можно считать зависящими лишь от состояния системы в момент t0 и независящими от предыстории ее функционирования.
Функционирование СМО удобно описывать с помощью ориентированного графа, вершины которого соответствуют состояниям системы Z1,Z2,...,Zn, а дуги – переходам из состояние в состояние.
В случае обслуживания пользователей двумя ЭВМ граф состояний будет иметь вид, показанный на рис.3.1. Из состояния Z0, когда заявка на обслуживание отсутствует и обе ЭВМ простаивают, возможны два перехода в случайные моменты времени - переход в состояние Z1, когда первая ЭВМ занята обслуживанием пользователя, а вторая - свободна, и в состояние Z2, когда вторая ЭВМ занята, а первая - свободна. Из состояний Z1 и Z2 возможны два переход: в состояние Z0, когда пользователь обслужен, а новая заявка на обслуживание не поступила, и в
состояние Z3, когда заявка ЭВМ еще не обслужена, а появилась новая заявка В состоянии Z3 образована очередь на обслуживание пользователей. Из состояния Z3 возможны переходы либо
Рис.3.1. в состояние Z1, либо в состояние Z2, когда первая или вторая ЭВМ обслуживают лишь одного из пользователей, и очереди нет. Конечно, из состояния Z3 возможны и другие переходы, если пользователи с высокой интенсивностью приходят в вычислительный центр, и длина очереди растет. Однако, в данном примере не рассматриваются закономерности образования очереди.
На графе рис.3.1 отсутствует переход из состояния Z0 в состояние Z3. Если поток заявок является ординарным, то вероятность поступления одновременно более одной заявки теоретически равна 0, а это означает, что переход из Z0 в Z3 невозможен. Часто на графе состояний указываются интенсивности переходов. В нашем случае на рисунке обозначены: λ - интенсивность поступления заявок, μ1 - интенсивность обслуживания пользователя первой ЭВМ, μ2 - интенсивность обслуживания пользователя второй ЭВМ.
На рис.3.2. приведен граф состояний СМО, состоящий из n технических устройств и ремонтной бригады. В этом примере состояние Z0 - все устройства исправны. Из этого состояния система в случайные моменты времени может перейти с интенсивностью λ1,λ2,...,λn соответственно в состояние Z1, Z2,…
Рис.3.2 Zn. В состоянии Zi, i=1,n i-ое устройство отказало и ремонтируется, остальные устройства исправны, но вся система без i-го устройства не работает. Из i-го отказового состояния Zi система с интенсивностью восстановления μi, i=1,n может вернуться в работоспособное состояние Z0, когда все устройства исправны. В этой модели функционирования СМО предполагается, что в течение времени ремонта отказавшего устройства другие устройства не работают, и отказать не могут, то есть поток отказов ординарный.
Таким образом, для описания мартовской системы необходимо:
1) определить понятие состояния системы; состояния могут быть
связаны с числом заявок, находящихся в системе с моментами
обработки заявок и т.п.;
2) определить количество все возможных состояний
3) задать начальное состояние Z0;
4) построить граф состояний;
5)
Исчерпывающей характеристикой систем массового обслуживания описанного типа являются вероятности всевозможных состояний, системы для определения которых составляются система линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.
Способы составления уравнений рассматриваются на примере.
Рис.3.3.
Вероятность нахождения системы в состоянии Zi обозначается Pi(t); интенсивности переходов между состояниями Zi и Zj – λij(i,j = 1,n).
Определим вероятность нахождения системы в состоянии Z2 - P2(t); для чего рассмотрим промежуток времени от t до t + ∆t и вычислим вероятность того, что в конце этого промежутка система будет находится в состоянии Z2. Это может произойти в следующих случаях:
a) в момент времени t система находилась в состоянии Z2 и за время ∆t не вышла из этого состояния;
b) в момент времени t система находилась в состояниях Z1 и Z5, но за время ∆t перешла в состояние Z2.
где
Уравнения можно написать, не прибегая к выводу, непосредственно по графу состояний, если использовать следующее правило: в левой части каждого из уравнений стоит производная вероятности i-го состояния; в правой части - сумма произведений вероятностей состояний, из которых выходят стрелки в данное состояние, на интенсивности соответствующих переходов, минус произведение суммарной интенсивности перехода из i-го состояния на вероятность этого состояния.
Решение дифференциальных уравнений возможно, если известны начальные условия функционирования системы. Часто можно рассматривать работу системы с момента времени, когда она свободна от заявок. Тогда за начальные условия принимаются: P0(0) = 1, P1(0) = P2(0) =... = Pn(0) = 0.
Уравнения вида (3.1), (3.2) и (3.3) называют уравнениями А.Н.Колмогорова, по имени выдающегося советского математика.
Важным свойством уравнение Колмогорова является следующее: сумма правых частей уравнения равна нулю.Это свойство можно использовать при проверке правильности написания уравнений.
Можно доказать, что для системы в стационарном состоянии вероятности состояний имеют предельные значения, не зависящие от начального состояния системы, то есть
limPi(t) = Pi , i=1,n, (3.4)
t→∞
где Pi – финальные вероятности.
P0+P1+P2+P3 = 1
Теперь можно одно любое уравнение системы исключить и заменить его нормировочным. Система будет иметь единственное решение. Смысл финальных вероятностей становится понятным, если их интерпретировать как средние относительные времена пребывания системы в соответствующих состояниях. Например, если в первом примере Р0=0.2; P1=0.25; P2=0.25; P3=0.3, то это значит, что исследуемая СМО находится в состоянии Z0 в среднем две десятых времени, в состояниях Z1 и Z2 - по одной четверти времени и в состоянии Z3 - три десятых суммарного времени.
Зная финальные вероятности всех состояний СМО, можно найти ряд других важных показателей ее эффективности.
Часто в системах массового обслуживания интересуются не вероятностью пребывания в момент времени t в состоянии Zi, а вероятностью того, что в течение времени t система попадает (или не попадает) в это состояние. Тогда для определения Pi(t) следует считать, что процесс обслуживания закончен, если система попала в состояние Zi, т.е. считать, что переходы из i-го состояния в другие состояния невозможны ("экран" для соответствующих ветвей на графе состояний).
Пусть, например, нужно определить вероятность того, что техническая система, граф состояний которой изображен на рис.3.2., не откажет в течение времени ∆t, т.е. ни одно из устройств системы не попадет на обслуживание в ремонтную бригаду. Из графа видно, что в поставленной задаче необходимо определить вероятность P0(t) пребывания системы в состоянии Z0 в течение времени t.
Если же система попадет в одно из состояний Z1,Z2,...,Zn, то произойдет ее отказ. Очевидно, что для определения P0(t) необходимо в графе состояний запретить переходы в Z0 из состояний Z1,Z2,...Zn. На графе это отмечено пунктирными линиями ("экраны"). Тогда система дифференциальных уравнений примет вид:
P0(t) = e-λt,
где λ = λ1 + λ2 +... +λn - интенсивность отказа системы.
Дата публикования: 2014-11-02; Прочитано: 487 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!